2016年上海市华师二附中高考数学模拟试卷(文科)(解析版)

第1页（共15页）2016年上海市华师二附中高考数学模拟试卷（文科）一、填空题1．集合A={2，0，1，6}，B={x|x+a＞0，x∈R}，A⊆B，则实数a的取值范围是．2．直线l：3x+4y﹣5=0的单位法向量是．3．复数z=1+4i（i为虚数单位），则|2z+|=．4．满足的实数x的取值范围是．5．函数的反函数为．6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．在（1﹣x）11的展开式中系数最大的是第项．8．奇函数f（x）的定义域为R，满足f（x）=log3x，x＞0，则f（x）≥0的解集是．9．已知棱长为1的立方体ABCD﹣A1B1C1D1，则从顶点A经过立方体表面到达正方形CDD1C1中心M的最短路线有条．10．已知点P（x，y）满足，的取值范围是．11．各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．12．表示一个两位数，记f（n）=a+b+a×b，如f（12）=1+2+1×2=5，则满足f（n）=n的两位数共有个．13．已知椭圆x2+=1，A、B是椭圆的左右顶点，P是椭圆上不与A、B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为α、β，tan（α﹣β）的取值范围是．14．已知命题：“平面内与是一组不平行向量，且||=||=1，，则任一非零向量，=λ1+λ2（λ1，λ2∈R），若点P在过点O（不与OA重合）的直线l上，则=k（定值），反之也成立，我们称直线l为以与为基底的等商线，其中定值k为直线l的等商比．”为真命题，则下列结论中成立的是（填上所有真命题的序号）．①当k=1时，直线l经过线段AB中点；②当k＜﹣1时，直线l与AB的延长线相交；③当k=﹣1时，直线l与AB平行；第2页（共15页）④l1⊥l2时，对应的等商比满足k1•k2=﹣1；⑤直线l1与l2的夹角记为θ（θ≠）对应的等商比为k1、k2，则tanθ=．二、选择题15．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（）A．2盏B．3盏C．4盏D．7盏16．某校某班级有42人，该班委会决定每月第一周的周一抽签决定座位，该班级座位排成6列7行，同学先在写有1、2、3、4、5、6的卡片中任取一张，确定所在列，再在写有1、2、3、4、5、6、7的卡片中任取一张确定所在行，如先后抽到卡片为2、5，则此同学座位为第2列第5行，在一学期的5次抽签中，该班班长5次位置均不相同的概率是（）A．B．C．D．17．直线a、b是空间一组异面直线，长度确定的线段AB在直线a上滑动，长度确定的线段CD在直线b上滑动，△ACD的面积记为S，四面体ABCD的体积记为V，则（）A．S为常数，V不确定B．S不确定，V为常数C．S、V均为常数D．S、V均不确定18．下列四个图象，只有一个符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（k1，k2k3∈R+，b1b2b3≠0）的图象，则根据你所判断的图象，k1、k2、k3之间一定满足的关系是（）A．k1+k2=k3B．k1=k2=k3C．k1+k2＞k3D．k1+k2＜k3三、解答题19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1=4．（1）求直线AB1与A1C1所成角；（2）求点B到平面AB1C的距离．20．某公司经过测算投资x百万元，投资项目A与产生的经济效益y之间满足：y=f（x）=﹣+2x+12，投资项目B产生的经济效益y之间满足：y=h（x）=﹣+4x+1．（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？（2）投资边际效应函数F（x）=f（x+1）﹣f（x），当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？21．数列{an}、{bn}满足：an+bn=2n﹣1，n∈N*．第3页（共15页）（1）若{an}的前n项和Sn=2n2﹣n，求{an}、{bn}的通项公式；（2）若an=k•2n﹣1，n∈N*，数列{bn}是单调递减数列，求实数k的取值范围．22．已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，O为抛物线的顶点，准线与x轴的交点为M，点N在抛物线上．（1）求直线MN的斜率的取值范围，记λ=，求λ的取值范围；（2）过点N的抛物线的切线交x轴于点P，则xN+xP是否为定值？（3）在给定的抛物线上过已知定点P，给出用圆规与直尺作过点P的切线的作法．23．已知f（x），x∈R是有界函数，即存在M＞0使得|f（x）|≤M恒成立．（1）F（x）=f（x+1）﹣f（x）是有界函数，则f（x），x∈R是否是有界函数？说明理由；（2）判断f1（x）=，f2（x）=9x﹣2•3x是否是有界函数？（3）有界函数f（x），x∈R满足f（x+）+f（x+）=f（x）+f（x+），f（x），x∈R是否是周期函数，请说明理由．第4页（共15页）2016年上海市华师二附中高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．集合A={2，0，1，6}，B={x|x+a＞0，x∈R}，A⊆B，则实数a的取值范围是（0，+∞）．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】B={x|x+a＞0，x∈R}=（﹣a，+∞），又A⊆B，可得﹣a＜0，解出即可得出．【解答】解：B={x|x+a＞0，x∈R}=（﹣a，+∞），又A⊆B，∴﹣a＜0，∴a＞0．故答案为：（0，+∞）．2．直线l：3x+4y﹣5=0的单位法向量是或．【考点】直线的方向向量．【分析】根据直线l的方程写出它的法向量，再求出对应的单位法向量．【解答】解：因为直线l的方程为：3x+4y﹣5=0，所以法向量为=（3，4），所以单位法向量为=×（3，4）=（，）；同理，还有﹣=﹣×（3，4）=．故答案为：或．3．复数z=1+4i（i为虚数单位），则|2z+|=5．【考点】复数求模．【分析】由z=1+4i，得，然后代入化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z=1+4i，得．则，∴|2z+|=．故答案为：5．4．满足的实数x的取值范围是．【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用行列式展开表达式，求解三角方程即可．【解答】解：，即，∴．第5页（共15页）故答案为：．5．函数的反函数为y=arcsinx，x∈[﹣1，1]．【考点】反函数．【分析】得出值域为[﹣1，1]，求解x=arcsiny，y∈[﹣1，1]，换变量写出解析式即可．【解答】解：∵函数的值域为[﹣1，1]，x=arcsiny，y∈[﹣1，1]，∴反函数为：y=arcsinx，x∈[﹣1，1]故答案为：y=arcsinx，x∈[﹣1，1]6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．7．在（1﹣x）11的展开式中系数最大的是第7项．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，求出正的系数，选出最大值．【解答】解：由题意，（1﹣x）11的展开式中系数时最大，即第7项．故答案为：7．8．奇函数f（x）的定义域为R，满足f（x）=log3x，x＞0，则f（x）≥0的解集是[﹣1，0]∪[1，+∞）．【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质．【分析】根据已知，画出函数的图象，数形结合可得f（x）≥0的解集．【解答】解：∵奇函数f（x）的定义域为R，满足f（x）=log3x，x＞0，∴函数f（x）的图象如下图所示：第6页（共15页）结合图象，可知f（x）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，+∞），故答案为：[﹣1，0]∪[1，+∞）．9．已知棱长为1的立方体ABCD﹣A1B1C1D1，则从顶点A经过立方体表面到达正方形CDD1C1中心M的最短路线有2条．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意，经过边DD1或DC时，路线最短，即可得出结论．【解答】解：由题意，经过边DD1或DC时，路线最短，有2条．故答案为：2．10．已知点P（x，y）满足，的取值范围是[，2]．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用的几何意义是可行域内的点到C（﹣1，﹣2）的斜率，只要求出斜率的最值即可．【解答】解：由已知对应的平面区域如图；而的几何意义为可行域内的点到C（﹣1，﹣2）的斜率，当与O连接是直线的斜率最大，与B（4，0）连接时，直线的斜率最小，所以，，所以，的取值范围是[，2]；故答案为：[，2]．第7页（共15页）11．各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．【考点】简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．【分析】根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为：，作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部第8页（共15页）其中A（0，lg2），B（2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2]，即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：12．表示一个两位数，记f（n）=a+b+a×b，如f（12）=1+2+1×2=5，则满足f（n）=n的两位数共有9个．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，ab+a+b=10a+b，b=9，a取1到9，即可得出结论．【解答】解：由题意，ab+a+b=10a+b，b=9，a取1到9，共9个．故答案为：9．13．已知椭圆x2+=1，A、B是椭圆的左右顶点，P是椭圆上不与A、B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为α、β，tan（α﹣β）的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆x2+=1，可设P（cosθ，2sinθ），可得，再利用和差公式及其三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：由椭圆x2+=1，可设P（cosθ，2sinθ），第9页（共15页）∴，，∴．故答案为：∪．14．已知命题：“平面内与是一组不平行向量，且||=||=1，，则任一非零向量，=λ1+λ2（λ1，λ2∈R），若点P在过点O（不与OA重合）的直线l上，则=k（定值），反之也成立，我们称直线l为以与为基底的等商线，其中定值k为直线l的等商比．”为真命题，则下列结论中成立的是①③④⑤（填上所有真命题的序号）．①当k=1时，直线l经过线段AB中点；②当k＜﹣1时，直线l与AB的延长线相交；③当k=﹣1时，直线l与AB平行；④l1⊥l2时，对应的等商比满足k1•k2=﹣1；⑤直线l1与l2的夹角记为θ（θ≠）对应的等商比为k1、k2，则tanθ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可设A（1，0），B（0，1），对于①，可得P的坐标和直线l的方程，由中点坐标公式即可判断；对于②，当k＜﹣1时，求得直线l的斜率范围，可得直线l与BA的延长线有交点，即可判断；对于③，当k=﹣1时，求得直线AB的斜率和直线l的斜率，由两直线平行的条件，即可判断；对于④，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合新定义即可判断；对于⑤，运用两直线的夹角公式