2016年使用附录2微积分在经济中的应用

6附录2微积分在经济中的应用(数学一、二不要求)§1一元函数微积分在经济中的应用一、概念与公式1.函数的变化率—边际函数、边际值设函数()yfx可导，则()fx在经济学中称为()fx的边际函数.0()fx称为()fx在0xx处的边际值.2.函数的相对变化率——函数的弹性设函数()yfx在0xx处可导，则函数的相对改变量0000()()()fxxfxyyfx与自变量的相对改变量0xx之比00//yyxx称为()fx从0xx到0xxx两点间的相对变化率或称为两点间的平均弹性值.而极限000//limxyyxx称为函数()fx在0xx处的弹性，记为0xxEyEx或0(),EfxEx即0000000000/()/()limlimxxxxyyxxEyyfxExxxxyfx一般地，()()EyxfxExfx称为()fx的弹性函数.3.需求函数与供给函数（1）需求（量）—指某商品的价格与消费者愿意并购买该商品的数量之间的一种对应关系.即需求量Q与价格p之间的函数关系，称为需求函数，记为()Qfp，需求函数()Qfp是单调减少函数（即满足()0fp），其反函数1()pfQ也称为需求函数.需求函数()Qfp对价格p的导数()Qfp—称为边际需求函数.需求函数()Qfp在0pp与0ppp之间的平均需求弹性为0000(,)()pQppppfp，需求函数()Qfp在点0pp处的需求弹性为00000ppppfpfp.（2）供给（量）—指某商品的价格与生产者（按该价格）愿意生产并投入市场的商品数量之间的一种对应关系.即供给量Q与价格p之间的函数关系，称为供给函数，记为7()Qp，供给函数()Qp是单调增加函数，（即满足()0p），其反函数1()pQ也称为供给函数.供给函数()Qp对价格p的导数()Qp—称为边际供给.供给函数()Qp在0pp与0ppp两点之间的平均供给弹性为：0000(,)()pQppppp，供给函数()Qp在点0pp处的供给弹性（恒正）为：00000()()pppppp.（3）均衡价格—指需求量与供给量相等时的价格.4.成本（1）总成本—指生产一定数量的产品所需要投入的全部费用.成本函数记为()CCQ（0Q），即01()()CQCCQ，其中Q—产量；0C—固定成本；1()CQ—可变成本.（2）平均成本——01()()()CCQCQCQQQQ（即成本与产量的比）.（3）边际成本——1()().CQCQ（4）总成本()CQ，边际成本()CQ，固定成本0C之间的关系为00()()dQCQCttC.5.收益（1）总收益—指生产者出售一定数量的产品（商品）所得到的全部收入（毛收入）.记()RRQ（0Q）为总收益函数，设p—商品价格，Q—需求量，需求函数()ppQ，则总收益函数()()RQQpQ.（2）平均收益—()()()QPQRQpQQ.（3）边际收益—()()()()RQQpQpQQpQ.（4）总收益()RQ与边际收益()RQ的关系式为0()()dQRQRtt.6.利润总利润—指收益与成本的差额.记()()()LLQRQCQ（0Q）为总利润函数,8()()()LQRQCQ.()LQ取最大值的必要条件：()0,LQ即()()RQCQ；()LQ取最大值的充分条件：()0,LQ即()()RQCQ.7.利用需求弹性分析收益的变化设某商品需求函数为()Qfp，收益RQp作为p函数Rppfp，Rpfppfp11.pfpfpfppfp其中,ppfpfp为需求弹性.设该商品的价格为p，相应的需求弹性值为p.分析结论：如果1p，则10Rpfpp，在p附近，Rp严格单调增加.此时，价格若上涨，收益增加.如果1p，则10Rpfpp，在p附近，Rp严格单调减少.此时，价格若上涨，收益减少（即价格若回落，收益增加）.如果1p，即需求的变动幅度等于价格的变动幅度，0,Rppp是RRp的最大值点，收益取最大值，也是需求弹性值为1的价格是获得最大收益的价格.如图：8.复利计算公式设银行的年利率为r，今有现金0A（元）存入银行.记x年末的总收入（本金加利息）为Rx元.如果银行按离散复利计算，有00011,RAArAr20001111,RRRrAArAr………………………………01,xRxArxN——为离散复利计算公式.如果银行按连续复利计算，有0e,rxRxAxR——为连续复利计算公式.二、典型例题解题思路求解经济问题的关键是理解经济函数的定义，掌握相关的经济函数的边际和弹性的概念；在解决经济最值问题时，首先应搞清目标函数，然后利用函数求最值的步骤、方法来求解.9例1已知某企业的总收益函数为232624RQQQ（单位：万元），总成本函数为28CQQ，其中Q为产品的产量（单位：万）.求（1）边际收益函数；（2）边际成本函数；（3）利润函数以及工厂获得最大利润时的产量和最大利润.解（1）边际收入函数为2()26412RQQQ.（2）边际成本函数为()82CQQ.（3）利润函数232()()()2624(8)LQRQCQQQQQQ231834,QQQ令()0LQ，即2186120QQ1,1.5QQ（舍去）.1(1)(624)300QQLQ，所以企业获最大利润时的产量1Q（单位：万），最大利润为231(1)(1834)11QLQQQ（万元）.例2设某产品的成本函数为2,CaQbQc需求函数为1(),eQdp其中C为成本，Q为需求量（即产量），p为单价；,,,,eabcd都是正常数，且.db求（1）利润最大时的产量及最大利润；（2）需求对价格的弹性；（3）需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.解（1）由1().eQdppdeQ利润函数为22()()(e)()()(e),LRQCQpQCdQQaQbQcdbQaQc()2(e),LdbaQ令0,2(e)dbLQa因为2(e)0,La所以当2(e)dbQa时利润最大，故最大利润为222(e)()()(e).4(e)dbQadbLdbQaQcca（2）因为1,eQ所以，需求对价格的弹性为11e()(e),eepdQQdQQQQ（3）由||12edQ，即为需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.例3已知某厂生产x件产品的成本为22500020040xCx（元），问：（1）若使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解（1）平均成本2500020040CxCxx.10令2250001040Cx解得121000,1000.xx（舍去）因为510005100xC，所以，当1000x时，平均成本C最小.（2）利润函数为2500(25000200)40xLRCxx23002500040xx.令300020xL，解得6000,x因为max10(6000)875000.20LLL例4设某产品的需求函数为(),QQp收益函数为,RpQ其中p为产品价格，Q为需求量（产品的产量），()Qp是单调减函数.如果当价格为0p，对应产量为0Q时，边际收益0()0,RRQa收益对价格的边际效应0d0dppRCp，需求对价格的弹性为1,PEb求0p和0Q.解由收益函数RpQ两边对Q求导，得dd111()()(1)(1),ddddpRppQppppQpQQEbpQ000d1(1).d1QQRabpapQbb由收益函数RpQ两边对p求导，得ddd()()(1)(1),dddpRQQpQpQQQEQbpppQ000d(1).d1ppRCQbCQpb例5男式衬衫进货价60元∕件，若销售价定为70元∕件时，估计可卖出100件，若每件售价降低2元，则可多卖出50件，问向厂家进多少件，每件售价为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解设买进Q件，销售价p元∕件，则利润函数为(60)LRCpQ，先求p与Q之间的关系式，由题设和生活的经验有100150100185025,70(702)70QQpp2(60)(60)(185025)253350111000(60).LpQppppp令5033500,Lp解得67,p则67(185025)175.pQp由于问题本身有最大值，故最大利润为267(67)(253350111000)1225.PLpp（元）11例6一商店按批发价每件3元买进一批商品零售，若零售价定为每件5元，估计可售出100件，若每件售价降低0.2元，则可多售出20件，问商店应批发进多少件，每件售价多少才可获得最大利润？最大利润是多少？解设买进x件，每件售价P元，则利润函数为(3)LPx，先求P与x的关系式，由题设和生活的经验有100120100,5(50.2)5xP解得600100,xP2(3)(600100)1009001800,LPPPP令2009000,LP解得4.5,150,Px(4.5)2000,L故买进150件，每件售价4.5元，可获最大利润，最大利润为(4.53)150225L（元）.例7设某商品每天生产x单位时固定成本为40元，边际成本函数为()0.22Cxx（元／单位），求（1）总成本函数(),Cx最小平均成本.（2）若该商品的销售单价为20元，且产品全部售出，问每天生产多少单位时才能获得最大利润，最大利润是多少？解（1）()0.22QCxx（1()Cx—可变成本，040C—固定成本），1000()()()d40(0.22)d40xxCxCxCCttxt20.1240xx，2()0.124040()0.12,CxxxCxxxxx令240()0.10,Cxx解得1220,20xx（舍去），32080()0,QxCxx故生产20个单位时平均成本最小，最小平均成本为：2040(20)(0.12)6.xCxx（2）总收益为()20,Rxx总利润22()20(0.1240)180.140,Lxxxxxx令()180.20,Lxx解得90,x由于问题有最大值，故每天生产90单位时才能获得最大利润，最大利润为：290(90)(180.140)270xLxx（元）.例8设某商品需求量Q对价格p的弹性为(050),50pppp为了增加企业的收入，应采取什么调价措施？解（利用需求弹性分析收益的变化分析结论）12由题意知：Q对价格p的弹性d()(050),d50pQppppQp设收入函数为,RpQ则dd()()(1)(1),dd50ppQQppRQpQQQQppQp令0PR，因为0,Q所以