2013届高二数学教案43用数学归纳法证明不等式(一)(人教A版选修4-5)

课题：第03课时用数学归纳法证明不等式（一）教学目标：1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，2、理解数学归纳法的操作步骤，3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1.求证：222*12(1),1335(21)(21)2(21)nnnnNnnn.2.求证：*11111,23421nnnN.二、讲授新课：1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。三、应用举例：例1：比较2n与2n的大小，试证明你的结论.分析：试值1,2,3,4,5,6n→猜想结论→用数学归纳法证明→要点：222222(1)2123kkkkkkkkkk….教学札记证明：（略）小结反思：试值→猜想→证明巩固练习1：已知数列na的各项为正数，Sn为前n项和，且11()2nnnSaa，归纳出an的公式并证明你的结论.解题要点提示：试值n=1,2,3,4，→猜想an→数学归纳法证明例2：证明不等式|sin||sin|()nnnN.要点：|sin(1)||sincoscossin||sincos||cossin|kkkkk|sin||sin||sin||sin|(1)|sin|kkk证明：（略）例3：证明贝努利不等式.(1)1(1,0,,1)nxnxxxnNn分析：贝努力不等式中涉及到两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数，n是大于1的自然数，用数学归纳法只能对n进行归纳巩固练习2：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn.解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=qb,c=bq(q＞0且q≠1).∴an+cn=….当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证2nnca＞(2ca)n(n≥2且n∈N*).….当n=k+1时，41211kkca(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41(ak+ck)(a+c)＞(2ca)k·(2ca)=(2ca)k+1.3.小结反思：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.四、巩固练习：1.用数学归纳法证明：111tan(2)(1)(1)....(1)cos2cos4cos2tannn.2.已知1111,2,12122nNnnnn证明：.五、课堂小结：六、布置作业：教材P533、5、8题.七、教学后记：