2013年试题

湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-1-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★一对一教案【理科】任课教师庄老师科目数学年级九班级类型一对一课时总课次第课授课时间2015年2月日~教学课题二次函数存在性问题和最值问题重点难点一、课程导入二、基础知识梳理整合1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-2-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．①当△BDE是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E的坐标．②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-3-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★如图，已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-4-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示；抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴于D．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-5-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－3)，且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：①点P的坐标；②△PAC的周长和面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-6-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★答案：1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．由旋转性质知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．∴OM＝OB·cos60°＝2×21＝1，BM＝OB·sin60°＝2×23＝3．∴点B的坐标为(1，3)．（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c∵抛物线过原点，∴c＝0．∴3024baba解得33233ba∴所求抛物线的解析式为y＝33x2＋332x．（3）存在．如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC．∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC＋OC的长最小．∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC＝AC．∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC＋OC最小，点C的位置即为所求．设直线AB的解析式为y＝kx＋m，将A(－2，0)，B(1，3)代入，得302mkmk解得33233mk湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-7-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★∴直线AB的解析式为y＝33x＋332．抛物线的对称轴为直线x＝332332＝－1，即x＝－1．将x＝－1代入直线AB的解析式，得y＝33×(－1)＋332＝33．∴点C的坐标为(－1，33)．（4）△PAB有最大面积．如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D．∵S△PAB＝S△PAD＋S△PBD＝21(yD－yP)(xB－xA)＝21[(33x＋332)－(33x2＋332x)](1＋2)＝－23x2－23x＋3＝－23(x＋21)2＋839∴当x＝－21时，△PAB的面积有最大值，最大值为839．此时yP＝33×(－21)2＋332×(－21)＝－43．∴此时P点的坐标为(－21，－43)．2.已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．①当△BDE是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E的坐标．②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-8-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★解：（1）由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB，∴OCOA＝OBOC．∴OC2＝OA·OB＝OA(AB－OA)，即22＝OA(5－OA)．∴OA2－5OA＋4＝0，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4．∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．∴可设所求抛物线的关系式为y＝a(x＋1)(x－4)．将点C(0，2)代入，得2＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－21．∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y＝－21(x＋1)(x－4)．即y＝－21x2＋23x＋2．（2）①E1(3，21)，E2(54，58)，E3(5544，552)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b．则204bbk解得221bk∴直线BC的解析式为y＝－21x＋2．∵点E在直线BC上，∴E(x，－21x＋2)．若ED＝EB，过点E作EH⊥x轴于H，如图2，则DH＝21DB＝1．∴OH＝OD＋DH＝2＋1＝3．∴点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y＝－21×3＋2＝21．∴E1(3，21)．若DE＝DB，则(x－2)2＋(－21x＋2)2＝22．整理得5x2－24x＋16＝0，解得x1＝4（舍去），x2＝54．∴y＝－21×54＋2＝58，∴E2(54，58)．若BE＝BD，则(x－4)2＋(－21x＋2)2＝22．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-9-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★－24x＋16＝0，解得x1＝5544（此时点P在第四象限，舍去），x2＝5544．∴y＝－21×(5544)＋2＝552，∴E3(5544，552)．②△CDP有最大面积．过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3．设直线PC的解析式为y＝px＋q，将C(0，2)，P(m，n)代入，得nqmpq2解得22qmnp∴直线PC的解析式为y＝mn2x＋2，∴M(2，mn42＋2)．S△CDP＝S△CDM＋S△PDM＝21xP·yM＝21m(mn42＋2)＝m＋n－2＝m＋(－21m2＋23m＋2)－2＝－21m2＋25m＝－21(m－25)2＋825∴当m＝25时，△CDP有最大面积，最大面积为825．此时n＝－21×(25)2＋23×25＋2＝821∴此时点P的坐标为(25，821)．3.如图，已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-10-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★解：（1）对称轴为直线x＝－24＝－2，即x＝－2；令y＝0，得x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．∵点B的坐标为(－1，0)，∴点A的坐标为(－3，0)．（2）存在，点P的坐标为(－2，3)，(2，3)和(－4，－3)．（3）存在．当x＝0时，y＝x2＋4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3．∵DE∥CO，∴△AED∽△AOC．∴AOAE＝CODE，即31＝3DE．∴DE＝1．∵DE∥CO，且DE≠CO，∴四边形DEOC为梯形．S梯形DEOC＝21(1＋3)×2＝4．设直线CM交x轴于点F，如图．若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则S△COF＝2即21CO·FO＝2．∴21×3FO＝2，∴FO＝34．∴点F的坐标为(－34，0)．∵直线CM经过点C(0，3)，∴设直线CM的解析式为y＝kx＋3．把F(－34，0)代入，得－34k＋3＝0．∴k＝49．∴直线CM的解析式为y＝49x＋3．4.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示；抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．湖南诚信办学机构十佳课外辅导机构-11-成才热线：400-0707-611★培养学习品质，提升成绩，考取名校★解：（1）过点B作BD⊥x轴于D．∵∠BCD＋∠ACO＝9