2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练专题6第1讲不等式与线性规划]

专题六第一讲一、选择题1．(2014·唐山市一模)己知集合A＝{x|x2－3x＋20}，B＝{x|log4x12}，则()A．A∩B＝∅B．B⊆AC．A∩∁RB＝RD．A⊆B[答案]A[解析]A＝{x|x2－3x＋20}＝{x|1x2}，B＝{x|log4x12}＝{x|x2}，∴A∩B＝∅.2．(2014·山东理，5)已知实数x、y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋11y2＋1B．ln(x2＋1)ln(y2＋1)C．sinxsinyD．x3y3[答案]D[解析]axay(0a1)，∴xy，而幂函数y＝x3在定义域上为增函数，∴x3y3.[点评]可以用特值检验法求解．3．(文)(2014·四川文，5)若ab0，cd0，则一定有()A.adbcB.adbcC.acbdD.acbd[答案]B[解析]∵cd0，∴1d1c0，∴－1d－1c0，又∵ab0，∴－ad－bc0，即adbc.选B.(理)已知a、b∈R，下列四个条件中，使ab成立的必要而不充分的条件是()A．ab－1B．ab＋1C．|a||b|D．2a2b[答案]A[解析]∵ab，bb－1，∴ab－1，但当ab－1时，ab未必成立，故选A.[点评]ab＋1是ab的充分不必要条件，2a2b是ab的充要条件；|a||b|是ab的既不充分也不必要条件．4．(文)已知a0，b0，且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A.14B．4C.12D．2[答案]C[解析]∵a0，b0，∴4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，∴1ab≥12，等号在a＝1，b＝2时成立．(理)若直线2ax＋by－2＝0(a、b∈R)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是()A．1B．5C．42D．3＋22[答案]D[解析]直线平分圆，则必过圆心．圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝11.∴圆心C(1,2)在直线上⇒2a＋2b－2＝0⇒a＋b＝1.∴2a＋1b＝(2a＋1b)(a＋b)＝2＋2ba＋ab＋1＝3＋2ba＋ab≥3＋22，故选D.5．(2013·哈六中三模)在坐标平面内，不等式组y≥2|x|－1，y≤x＋1所表示的平面区域的面积为()A．22B.83C.223D．2[答案]B[解析]通过解方程组可得A(－23，13)，B(2,3)，C(0，－1)，E(0,1)，如图可知，S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝12×|CE|×(xB－xA)＝83.6．(文)若实数x、y满足不等式组y≥0，x－y≥0，2x－y－2≥0，则w＝y－1x＋1的取值范围是()A．[－1，13]B．[－12，13]C．[－12，＋∞)D．[－12，1)[答案]D[解析]作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M(x，y)与点P(－1,1)连线斜率的取值范围．由图可知wmin＝1－0－1－1＝－12，wmax1，∴w∈[－12，1)．(理)如果不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为()A.12或15B.12或13C.15或14D.14或12[答案]C[解析]画出x≥0，y≥2x，表示的平面区域，直线kx－y＋1＝0过定点(0,1)，则k＝0或k＝－12，如图所示：A(25，45)，B(12，1)，∴所求三角形的面积为15或14.二、填空题7．(文)(2013·合肥质检)不等式组x≥0，y≥0，x＋y－2－1≤0，x－ky＋k≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k＝________.[答案]±1[解析]本题可以通过画图解决，如图直线l：x－ky＋k＝0过定点(0,1)．当k＝±1时，所围成的图形是轴对称图形．(理)设变量x、y满足约束条件x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，则目标函数z＝x2＋y2的最大值为________．[答案]41[解析]约束条件x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，画出可行域如图，易知x＝4，y＝5时，z有最大值，z＝42＋52＝41.8．(2014·邯郸市一模)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且f(1)＝2，当x1、x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有fx1＋fx2x1＋x20，若f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]、a∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．[答案][－1,1][解析]∵f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，∴当x1、x2∈[－1,1]且x1＋x2≠0时，fx1＋fx2x1＋x20等价于fx1－f－x2x1－－x20，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．∵f(1)＝2，∴f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－2.要使f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]，a∈[－1，1]恒成立，即－2≥m2－2am－5对所有a∈[－1,1]恒成立，∴m2－2am－3≤0，设g(a)＝m2－2am－3，则g－1≤0，g1≤0，即－3≤m≤1，－1≤m≤3.∴－1≤m≤1.∴实数m的取值范围是[－1,1]．三、解答题9．(2013·杭州质检)已知函数f(x)＝－x3＋ax(a0)．(1)当a＝1时，求过点P(－1,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；(2)当x∈[0,1]时，不等式14x－14≤f(x)≤14x＋14恒成立，求a的取值集合．[解析](1)a＝1时，f(x)＝－x3＋x，则f′(x)＝－3x2＋1，设切点T(x0，y0)，则f′(x0)＝－3x20＋1，∴切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，即y－(－x30＋x0)＝(－3x20＋1)(x－x0)．把(－1,0)代入得(x0＋1)2(2x0－1)＝0，∴x0＝－1或x0＝12.当x0＝－1时，切线方程为y＝－2x－2；当x0＝12时，切线方程为y＝14x＋14.(2)不等式14x－14≤f(x)≤14x＋14，即14x－14≤－x3＋ax≤14x＋14，①当x＝0时，不等式显然成立．②当x∈(0,1]时，不等式化为14－14x＋x2≤a≤14＋14x＋x2，设g(x)＝14－14x＋x2，h(x)＝14＋14x＋x2，则g′(x)＝14x2＋2x0，∴g(x)在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝1，h′(x)＝8x3－14x2，∴h(x)在(0，12]上单调递减，在(12，1]上单调递增，∴h(x)min＝h(12)＝1，∴1≤a≤1，∴a＝1.综上知，a的取值集合为{1}.一、选择题10．(文)(2013·重庆文，7)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.152[答案]A[解析]∵a0，∴不等式x2－2ax－8a20化为(x＋2a)(x－4a)0，∴－2ax4a，∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，∴a＝52.(理)(2013·天津文，7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1,2]B．(0，12]C．[12，2]D．(0,2][答案]C[解析]因为log12a＝－log2a，所以f(log2a)＋f(log12a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，故选C.11．(2014·新课标Ⅰ文，11)设x、y满足约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3[答案]A[解析]当a＝－5时，作出可行域，由x＋y＝5，x－y＝－1，得交点A(－3，－2)，则目标函数z＝x－5y过A点时取最大值，zmax＝7，不合题意，排除A、C；当a＝3时，同理可得目标函数z＝x＋3y过B(1,2)时，zmax＝7符合题意，故选B.12．(文)(2014·北京理，6)若x、y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.12D．－12[答案]D[解析]本题考查了线性规划的应用．若k≥0，z＝y－x没有最小值，不合题意．若k0，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z＝y－x在点(－2k，0)处取最小值－4，故0－(－2k)＝－4，解得k＝－12，即选项D正确．(理)(2014·四川文，6)执行如图的程序框图，如果输入的x、y∈R，那么输出的S的最大值为()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]若x≥0y≥0x＋y≤1，则S＝2x＋y取最大值2(当x＝1，y＝0时取得)，如图：否则S＝1，∴输出S的最大值为2.13．(文)(2013·东北三校联考)如果实数x、y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为()A．－2B.15C．2D．不存在[答案]C[解析]作出不等式组表示的可行域如图．可行域中的最优解可能是A(5,2)，B(1，225)，C(1,1)．若k＝－2，目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解是B(1，225)，取得最小值的最优解是A(5,2)，有12＝－2×1＋225成立与3＝－2×5＋2不成立，排除选项A.若k＝2，目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解是A(5,2)，取得最小值的最优解是C(1,1)，有12＝12×5＋2与3＝2×1＋1都成立，所以选C.(理)(2013·惠州调研)已知A(3，3)，O是原点，点P(x，y)的坐标满足3x－y≤0，x－3y＋2≥0，y≥0，若z为OA→在OP→上的投影，则z的取值范围是()A．[－3，3]B．[－3,3]C．[－3，3]D．[－3，3][答案]B[解析]z＝OA→·OP→|OP→|＝|OA→|cos∠AOP＝23cos∠AOP，∵∠AOP∈[π6，5π6]，∴当∠AOP＝π6时，zmax＝23cosπ6＝3；当∠AOP＝5π6时，zmin＝23cos5π6＝－3，∴z的取值范围是[－3,3]．二、填空题14．(文)(2014·山西太原五中月考)若不等式组x－y＋5≥0y≥kx＋50≤x≤2，表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范围是________．[答案](－1,0)[解析]画出x－y＋5≥00≤x≤2，表示的平面区域如图，由于直线y＝kx＋5过点(0,5)，当k＝0时，直线y＝kx＋5与直线x＝2垂直，当k＝－1时，直线y＝kx＋5与直线x－y＋5＝0垂直，要使平面区域为锐角三角形，应有－1k0.(理)(2014·中原名校联考)已知实数x、y满足y≤xx＋ay≤4y≥1，若z＝3x＋y的最大值为16，则a＝________.[答案]0[解析]直线y＝x与y＝1交点A(1,1)，显然z＝3x＋y最优点不是A点，由y＝xx＋ay＝4，得B(41＋a，41＋a)，由y＝1x＋ay＝4，得C(4－a,1)，若最优点为B，则a＝0，若最优点为C，则a＝－1，经检验知a＝－1不合题意，∴a＝0.15．(2014·长沙市模拟)若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足1a＋1b＝2c，则称a，b，c是调和的；若满足a＋c＝2b，则称a，b，c是等差的．若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合M＝{x||x|≤2014，x∈Z}