2013年中考压轴题全面突破之四三角形的存在性(含答案)

中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。的图象经过点(2，4)，且与直线错误!未找到引用源。交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．yxOCBAyxOCBAyxOCBA2.（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误!未找到引用源。与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误!未找到引用源。与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0t1．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．yxOQPHCBAABCOxy3.（2012海南）如图，顶点为P(4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是(6，﹣3)，求△ANO的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．NlMAOPxyyxPOl4.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。与x轴的两个交点分别为A(-3，0)B(1，0)，过顶点C作CH⊥x轴于点H．（1）a=________，b=________，顶点C的坐标为_________．（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．ABCOHxyABCOHxyABCOHxy5.（2012辽宁大连）如图，抛物线错误!未找到引用源。经过A(错误!未找到引用源。，0)，B(错误!未找到引用源。，0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D．设抛物线的顶点为P，连接PA，AD，DP，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的解析式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM，DN，若PM=2DN，求点N的坐标．lABCODEPxylABCODEPxy6.（2012湖北黄冈）如图，已知抛物线错误!未找到引用源。(m0)与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M(2，2)，求实数m的值．（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积．（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．（4）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，C，F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．BCEOxyBCEOxy7.（2012福建福州）如图1，已知抛物线错误!未找到引用源。（a≠0）经过A(3，0)，B(4，4)两点．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P，O，D分别与点N，O，B对应）．图1ABDOxyN图2yxODBA8.（2012江苏苏州）如图，已知抛物线错误!未找到引用源。（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）．（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．PABCOxyPABCOxyPABCOxy9.（2012浙江丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=错误!未找到引用源。．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=错误!未找到引用源。，AC与y轴交于点E.（1）求AC所在直线的函数解析式．（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积．（3）已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．GyxOEFCBAGyxOEFCBAGyxOEFCBAGyxOEFCBA三角形的存在性1．（1）213322yxx．（2）C3(0)2，．（3）存在，符合条件的点M的坐标分别为123457(01)(07)(0)(10)(30)2MMMMM，、，、，、，、，．2．（1）C（0，3），b94，c3．（2）1480218412-ttQHtt，＜，＜＜．（3）存在，符合条件的t值分别为t1=21，t2=732，t3=2532．3．（1）21=24yxx．（2）△ANO的面积为12．（3）①证明略；②能，A(4424)，．4．（1）1,=2a=b，C（1，4）．（2）存在，符合条件的点D的坐标为（0，3）或（0，1）．（3）P)92031(，或P)165547(，．5．（1）2123333=-yxx．（2）存在，符合条件的点Q的坐标分别为Q107,、Q232,-、Q333,4、Q423-,1．（3）71333-,N．1.（1）m=4．（2）S△BCE=6．（3）H（1，32）．（4）存在，m=22+2．2.（1）xxy32．（2）4m，点D的坐标为（2，2）．（3）点P的坐标为（83，3245）或（3245，83）．3.（1）B（b，0），C（0，4b）．（2）存在，点P的坐标为（165，165）．（3）存在，符合条件的点Q的坐标为（1，2+3错误!未找到引用源。）或（1，4）．4.（1）32345yx．（2）30OEGS．（3）存在，符合条件的点P坐标为10342034534534102346131393553435340234+2424，，，，，，，，，．