2013年中考攻略专题3一元二次方程根的判别式应用探讨

网易【2013年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨2013-02-1220:38:52|分类：初中数学辅导|举报|字号订阅【2013年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac=0；若无实数根，则Δ=b2－4ac0。因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：典型例题：例1：（2012广西河池3分）一元二次方程的根的情况是【】A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】∵中，a=1，b=2，c=2，∴△。∴无实数根。故选D。例2：（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是【】A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；D、整理得：，当时，，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确故选D。练习题：1（2012广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣3时，求方程的根。2.（2011福建福州4分）一元二次方程（﹣2）=0根的情况是【】A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、只有一个实数根D、没有实数根3.（2011福建福州4分）一元二次方程（﹣2）=0根的情况是【】A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、只有一个实数根D、没有实数根4.（2011内蒙古包头3分）一元二次方程x2+x+41=0的根的情况是【】A、有两个不等的实数根B、有两个相等的实数根C、无实数根D、无法确定二.根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围：典型例题：例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【】A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【答案】D。【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知：k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。故选D。例3：（2012湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【】A.B.C.D.【答案】B。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：∵一元二次方程有实数解，∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1。∴m的取值范围是m≤1。故选B。例4：（2012江西南昌3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是【】A．1B．﹣1C．D．﹣【答案】B。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a=﹣1。故选B。例5：（2012上海市4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是▲。【答案】c＞9。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，c＞9。例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根。（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1?x2=m+1。∵|x1－x2|＝2，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。解得：m1=－3，m2=1。当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=，x2=－。当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+，x2=－2－。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1?x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1?x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。例7：（2011山东潍坊3分）关于的方程的根的情况描述正确的是【】.A．为任何实数，方程都没有实数根B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。例8：（2012四川成都4分）有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数的图象不经过点（1，0）的概率是▲。【答案】。【考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式，概率公式。【分析】∵有两个不相等的实数根，∴△＞0。∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。将（1，0）代入得，a2+a﹣2=0，解得a1=1，a2=﹣2。可见，符合要求的点为0，2，3。∴P（符合要求）=。练习题：1（2012四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【】A．a＞2B．a＜2C．a＜2且a≠lD．a＜﹣22.（2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【】(A)k且k≠2(B)k≥且k≠2(C)k且k≠2(D)k≥且k≠23.（2012四川泸州2分）若关于x的一元二次方程x2－4x+2k=0有两个实数根，则k的取值范围是【】A、k≥2B、k≤2C、k＞-2D、k＜-24.（2012山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【】．A．k≥1B．k≤1C．k1D．k15.（2012北京市4分）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是▲。6.（2012四川资阳3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是▲。7.（2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程。（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。8.（2011湖南郴州6分）当t取什么值时，关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根？9.（2009黑龙江佳木斯3分）若关于x的一元二次方程nx2－2x－1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x－n的图象不经过【】A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限三.限制一元二次方程根与系数关系的应用：典型例题：例1：（2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为▲。例2：（2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足。（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由。【答案】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，∴令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0①，则有：x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m。∴，化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1。当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。（2）存在。理由如下：假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形。如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点。∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2）。∴OB=1，OC=2。∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC。∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB。在Rt△PAD与Rt△CBO中，∵∠PAD=∠CBO，PA=BC，∠APD=∠OCB，∴Rt△PAD≌Rt△CBO（AAS）。∴PD=OC=2，即yP=2。∵直线解析式为y=x+3，∴xP=﹣1。∴P（﹣1，2）。∴在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）。【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标。练习题：1.（2012湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个