2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件专题4第2讲高考中的立体几何(解答题型)

高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书第二讲高考中的立体几何（解答题型）高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．(2014·安徽高考)如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．(2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝CD＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝13×12×2×2×1＝23.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理：∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理：∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理：∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书热点一线、面位置关系的证明命题角度此类题目多以柱体、锥体为载体，考查空间位置关系的证明．空间线线、线面、面面的平行和垂直的转化是高考考查的重点和主要命题方向.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例1](2014·山东高考)如图，四棱锥P­ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.[师生共研]高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.所以AP∥平面BEF.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．如图，矩形CDEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，其中AB∥CD，AB＝1，BC＝12CD＝2，BC⊥CD，MB∥FC，MB＝FC＝3.P、Q分别为BC、AE的中点．(1)求证：PQ∥平面MAB；(2)求证：平面EAC⊥平面MBD.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)取AD的中点N，连接QN、PN.在△AED中，AN＝ND，AQ＝QE，所以QN∥ED.又ED∥FC∥MB，所以QN∥MB.在梯形ABCD中，AN＝ND，BP＝PC，又AB∥CD，所以PN∥AB∥CD.又QN∩NP＝N，MB∩AB＝B，所以平面QPN∥平面MAB，又PQ⊂平面QPN，所以PQ∥平面MAB.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)因为平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，在矩形CDEF中，FC⊥CD，所以FC⊥平面ABCD，所以FC⊥AC，又MB∥FC，所以MB⊥AC.在直角梯形ABCD中，tan∠DBC＝DCBC＝42＝2，tan∠ACB＝ABBC＝12.所以∠DBC＋∠ACB＝π2，故AC⊥BD.又BD∩MB＝B，所以AC⊥平面MBD，又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面MBD.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书热点二空间位置关系与体积的综合问题命题角度空间线面位置关系与体积的计算相结合命题是高考常考题型．一般是第一问考查空间位置关系，特别是垂直关系的证明；第二问考查几何体的体积或由体积来求点到平面的距离等计算.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例2](2014·辽宁高考)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D­BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[师生共研](1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD中点，所以CG⊥AD；同理BG⊥AD；又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝3，所以VD­BCG＝VG­BCD＝13×S△DBC×h＝13×12×BD×BC×sin120°×32＝12.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书三种常见的求体积的方法(1)分割求和法：把不规则的图形分割成几种规则的图形，然后进行体积求和．(2)补形法：把不规则的形体补成规则的形体，不熟悉的形体补成熟悉的形体，便于计算其体积．常见的补形方法：①将正四面体补成正方体；②将棱长相等的三棱锥补成长方体；③将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体；④将三棱锥补成三棱柱或平行六面体；⑤将三棱柱补成平行六面体；⑥将台体补成锥体．(3)等积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.(1)求证：CF∥平面AEB1；(2)求三棱锥C­AB1E在底面AB1E上的高．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)取AB1的中点G，连接EG，FG，∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝12BB1，∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)∵三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴VA­EB1C＝13×S△EB1C×AC＝13×12×1×1×1＝16.∵AE＝EB1＝2，AB1＝6，∴S△AB1E＝32.∵VC­AB1E＝VA­EB1C，∴三棱锥C­AB1E在底面AB1E上的高为3VC­AB1ES△AB1E＝33.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书热点三折叠问题命题角度折叠问题是高考常考题型，一般来说，折叠问题常从以下两个角度考查：一是将平面图形折叠成空间几何体，进而论证位置关系和求空间几何体体积；二是将空间图形拆分并铺成平面图形来计算一些数量关系.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例3](2014·广东高考)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图(2)折叠：折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M­CDE的体积．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[师生共研](1)∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，且PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，∵CF⊂平面PCD，∴AD⊥CF，又MF⊥CF，MF∩AD＝M，∴CF⊥平面MDF.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，又CD＝AB＝1，PC＝2，∴PD＝3.由(1)知CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF.∴由S△PCD＝12PD×CD＝12PC×DF得DF＝32.∴CF＝CD2－DF2＝12，∵EF∥CD，∴DEDP＝CFCP，∴DE＝CFCP×DP＝34.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书∴S△CDE＝12CD×DE＝12×1×34＝38.∵AD⊥平面PCD，即MD⊥平面CDE，且ME＝PE＝PD－ED＝334，∴MD＝ME2－ED2＝2716－316＝62，∴三棱锥M­CDE的体积为VM­CDE＝13S△CDE×MD＝13×38×62＝216.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书求解翻折问题的两个关键点(1)画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图．(2)分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和变量关系发生了变化，哪些没有变，这些不变和变化的量反映了折叠后空间图形的结构特征．一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变的，分别位于两个半平面内但垂直于棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书3．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是