2015年函数部分二求函数值域的方法(学生版)含答案

12015年函数部分二：求函数的值域（学生版）（1）直接法（观察法）：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例1：已知函数112xy，2,1,0,1x，求函数的值域。例2：求函数1yx的值域。例3：求函数11,1yxxx≥的值域。例4：求函数2610yxx的值域。（2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如20yaxbxca或20Fxafxbfxca类的函数的值域问题，均可使用配方法。例1．求函数322xxy的值域。例2．求函数xxxy422在区间]4,41[x的值域。（3）单调性法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。2例1已知211fxx，且3,4x，则fx的值域为。例2：求函数2xy，2,2x的值域。例3：求函数2256yxx的值域。（4）反解法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围。对于形如)0(abaxdcxy的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。例1：求函数1212xxy的值域。解：由1212xxy解得121xyy，∵20x，∴101yy，∴11y∴函数1212xxy的值域为(1,1)y。例2：函数2sin13sin2xyx的值域为；若3,22x，其值域为（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条3件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。例1：求函数125xyx的值域。（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。对形如1yfx的函数，令fxt；形如(,,,,0)yaxbcxdabcdac均为常数的函数，令cxdt；形如含22ax的结构的函数，可利用三角代换，令cos,0,xa，或令sin,,22xa.例1：求函数212yxx的值域。例2．求函数21)45)(125(22xxxxy的值域。4例3．求函数23102xxxy的值域。（7）判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域。对形如21112222axbxcyaxbxc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即0从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。例1：求函数2231xxyxx的值域。（8）函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，0,0bfxaxabx.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。例1：求函数12yxx的值域。解：∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，∴函数12yxx在定义域1(,]2上是增函数。例2．求函数xxy1在区间,0x上的值域。5例3：求函数xxxf11的值域。（9）基本不等式法利用基本不等式求函数值域,其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。利用基本不等式2abab，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用2abab求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①0,0ab;②abab或为定值；③取等号成立的条件ab.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数(0,)nkyxknNx的值域。例1求函数12xxy的值域.例2：求函数的值域：2211212xxyxx.6例3.求函数的值域。例4.求函数的值域。（10）函数有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如dxbcxaycossin，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。例1：求函数2211xyx的值域。例2．求函数1212xxy的值域例3：求函数2cos13cos2xyx的值域。例4：求函数2sin2sinxyx的值域。（11）数型结合法：7如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由1221yyxx可联想到两点11,xy与22,xy连线的斜率或距离。例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。解法1：将函数化为分段函数形式：)2(12)21(3)1(12xxxxxy，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y3}。解法2（几何法或图象法）：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]。如图O12-1xO12-1xO12-1x）例2．求函数224548yxxxx的值域。例3．求函数xxy11的值域。例4.求函数226+134+5yxxxx的值域。（12）复合函数法：对函数(),()yfuugx，先求()ugx的值域充当()yfu的定义域，从而求出()yfu的值域的方法。2-13xOy8例1、求函数133xxy的值域例2：求函数212log(253)yxx的值域。（13）非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数216xy的值域。(2)求函数1322xxy的值域。（不等式性质法）例2：求下列函数的值域：（1）y=262x；（2）y=22241022xxxx；（3）y=62sin1x（4）y=10-216x；（2）y=13()4(1)2xx；（3）y=2211log()()42xx（14）“平方开方法”.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合函数特征设()fx（xD）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）()fx的值总是非负，即对于任意的xD，()0fx恒成立；（2）()fx具有两个函数加和的形式，即12()()()fxfxfx（xD）；（3）()fx的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即92212()[()()]()fxfxfxcgx（xD，c为常数），其中，新函数()gx（xD）的值域比较容易求得.2.运算步骤若函数()fx（xD）具备了上述的三个特征，则可以将()fx先平方、再开方，从而得到()()fxcgx（xD，c为常数）.然后，利用()gx的值域便可轻易地求出()fx的值域.例如()[,]gxuv，则显然()[,]fxcucv.3.应用四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.例1求函数()fxbxxa（[,]xab，ab）的值域.解：首先，当[,]xab时，()0fx；其次，()fx是函数1()fxbx与2()fxxa的和；最后，22()2()()2()fxbabxxabaxabxab可见，函数()fx满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()fx平方、开方得2()2()fxbaxabxab（[,]xab）.这里，2()2()gxxabxab（[,]xab）.对()gx根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得()gx的值域为[0,]ba.于是，()fx的值域为[,2()]baba.例2求函数()fxbkxkxa（[,]abxkk，ab，0k）的值域.解：显然，该题就是例1的推广，且此题的()fx也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()fx平方、开方得22()2()fxbakxkabxab（[,]abxkk）.这里，22()2()gxkxkabxab（[,]abxkk）.对()gx根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得()gx的值域仍为[0,]ba.于是，()fx的值域也仍为[,2()]baba.例3求函数()|sin||cos|fxxx（xR）的值域.10解：参照例1的验证步骤，显然，此题的()fx也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()fx平方、开方得()1|sin2|fxx（xR）.这里，()|sin2|gxx（xR）.易知，()gx的值域为[0,1].于是，()fx的值域为[1,2].例4求函数()sincossincosfxxxxx（xR）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的()fx也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()fx平方、开方得()22|cos2|fxx（xR）.这里，()2|cos2|gxx（xR）.易知，()gx的值域为[0,2].于是，()fx的值域为[2,2].例5求函数xxy53的值域（15）其他方法其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的14种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。例4.求函数xxy2231的值域解（复合函数法）：令1)1(222xxxt，则)1(31tyt由指数函数的单调性知，原函数的值域为,31例5.求函数21xxy的值域解（三角代换法）：11x设,0cosx112,12,1)4sin(2sincossincos原函数的值域为y小结：（1）若题目中含有1a，则可设)0,cos(22,sinaa或设（2）若题目中含有122ba则可设sin,cosba，其中20（3）若题目中含有21x，则可设cosx，其中0（4）若题目中含有21x，则可设tanx，其中22（5）若题目中含有)0,0,0(ryxryx，则可设22sin,cosryrx。其中2,0例6、求函数1122xxy的值域12值域练习1、①