2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理) (1)

2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理)第一次作业1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。A：整除B：不整除C：等于D：小于正确答案：A得分：102、整数6的正约数的个数是（）。A：1B：2C：3D：4正确答案：D得分：103、如果5|n，7|n，则35（）n。A：不整除B：等于C：不一定D：整除正确答案：D得分：104、如果a|b，b|a，则（）。A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定正确答案：C得分：105、360与200的最大公约数是（）。A：10B：20C：30D：40正确答案：D得分：106、如果a|b，b|c，则（）。A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a正确答案：C得分：107、1到20之间的素数是（）。A：1，2，3，5，7，11，13，17，19B：2，3，5，7，11，13，17，19C：1，2，4，5，10，20D：2，3，5，7，12，13，15，17正确答案：B得分：108、若a，b均为偶数，则a+b为（）。A：偶数B：奇数C：正整数D：负整数正确答案：A得分：109、下面的（）是模12的一个简化剩余系。A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2正确答案：C得分：1010、下面的（）是模4的一个完全剩余系。A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2正确答案：C得分：1011、下面的（）是不定方程3x+7y=20的一个整数解。A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2正确答案：D得分：1012、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。A：0B：1C：2D：3正确答案：A得分：1013、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。A：6B：2C：3D：13正确答案：A得分：1014、100与44的最小公倍数是（）。A：4400B：2200C：1100D：440正确答案：C得分：1015、{{1.8}+{2.9}}等于（）。A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7正确答案：D得分：1016、[[4.5]+[3.7]]等于（）。A：3B：4C：7D：8正确答案：C得分：1017、一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n是（）。A：1110B：1101C：1011D：1001正确答案：A得分：1018、-4除-39的余数是（）。A：3B：2C：1D：0正确答案：C得分：1019、下面的数是3的倍数的数是­­­（）。A：19B：119C：1119D：11119正确答案：C得分：1020、小于20的正素数的个数是（）。A：11B：10C：9D：8正确答案：D得分：1021、下面的（）是模4的一个简化剩余系。A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6正确答案：B得分：1022、已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是­­­（）。A：0B：2C：5D：9正确答案：C得分：10第二次作业填空题1．16除100的余数是4_。2．如果今天是星期一，那么从今天起再过1010天后是星期四。3．{3.2}=0.2；[2.84]=2。4．[{3.6}+{1.7}]=1。5．{{4.2}{2.3}}=___0.1___________。6．15的所有正因数的和是9。7．1260的标准分解式是222357。8．20！的标准分解式是1884235711131719。9．98!的末尾有______22_________个零。10．890的标准分解式是2×5×89.11．欧拉函数值(50)20。12．7除3301的余数是4。13．不定方程ax+by=c有解的充要条件是(,)abc。14．设m为正整数，a，b为两个整数，如果用m去除a与b所得的余数相同，那么就称a，b对模m同余。15．一次同余式(mod)axbm有解的充分必要条件是___(,)amb__________。16．模7的最小非负完全剩余系是{0,1,2,3,4,5,6}。17．（1516，600）=227400。18．不定方程ax+by=c(其中a，b，c是整数)有整数解的充要条件是(,)abc。19．710被11除的余数是1。20．77的个位数是_3_______第三次作业计算题1．写出400与600的标准分解式，并求出400与600的最大公因数。解4240025，32600235，32(400,600)25200。2．求128121被11除的余数。解因为(11)=10，而128与11互素，所以12810≡1(mod11)，于是128121≡128≡7(mod11)，所以128121被11除的余数为7。3．求1050与858的最大公因数。解：因为1050=23527，858=231113，所以(1050，858)=23=6。4．求1001！中末尾0的个数。解：因为10=25，所以1001！中末尾相当于1001！的质因数分解式中25的个数。由于25，所以1001！的质因数分解式中2的个数比5的个数要多，因此，只要考察1001！中因子5的个数即可。因为：1001÷5=200……1，1001÷52=40……1，1001÷53=8……1，1000÷54=1……375，又因为200+40+8+1=249，所以答案为249。即1001！中末尾0的个数为249个。5．求不定方程3x+5y=20的一切非负整数解。解：因为（3，5）=1，所以不定方程有整数解。由观察知x0=0，y0=4是不定方程3x+5y=20的一个整数解，所以不定方程3x+5y=20的一切整数解是543xtyt，其中t取一切整数。由00xy可解得403t，所以0,1t，故不定方程的一切非负整数解为04xy，51xy。6．求出不定方程7x+2y=1的一个整数解，并写出其一切整数解的表达式。解：因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。观察知其一个整数解是0013xy。于是其一切整数解为1237xtyt，t取一切整数。7．求不定方程15x+10y+6z=61的一切整数解。解：不定方程的一切整数解为52653665xuvyuvzv，其中u，v取一切整数。8．计算欧拉函数值：（100）。解：100=2252，由公式有（100）=221125(1)(1)25=40。9．解同余式3x8(mod10)。解：因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。由3108xy得一个解0061xy，所以同余式的解为6(mod10)x。10．解同余式组：1(mod2)1(mod3)1(mod5)xxx。解：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。由孙子定理可得该同余式组的解为x1(mod30)。11．解同余式28x21(mod35)。解因为（28，35）=7，而7|21，所以同余式28x21(mod35)有解，且有7个解。同余式28x21(mod35)等价于4x3(mod5)，解4x3(mod5)得x2(mod5)，故同余式28x21(mod35)的7个解为x2，7，12，17，22，27，32(mod35)。12．解同余式组：1(mod3)2(mod7)xx。解：由1(mod3)x得1113,xttZ，将其代入2(mod7)x得1132(mod7)t，即131(mod7)t，解得15(mod7)t，所以12257,tttZ，于是12221313(57)1621,xttttZ。所以同余式组的解为16(mod21)x。第四次作业证明题1．证明：若)(modmba，)(modmdc，则)(modmdbca。证明：由)(modmba，)(modmdc得)(|bam，)(|dcm，由整除的性质得)]()[(|dcbam，即)]()[(|dbcam，所以)(modmdbca。2．证明：设m,n为整数，求证m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数。证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m-n是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m-n是3的倍数，结论成立。3．证明：若ca|，db|，则cdab|。证明：由ca|，db|知存在整数p，q使得apc，bqd，所以abpqapbqcd，因为pq为整数，所以由整除的定义知cdab|。4．证明：若n为自然数，求证9n+18n+9(mod64)。证明：因为91(mod8)，所以9k1(mod8)，k=2，3，…，n-1，于是9n-1+…+92+9+1n(mod8)，所以9(9n-1+…+92+9+1)n(mod8)，从而9(9-1)(9n-1+…+92+9+1)8n(mod64)，即9(9n-1)8n(mod64)，所以9n+18n+9(mod64)。5．若p为奇质数，证明2p|(22p-1–2)。证明：因为p为质数，所以(p)=p-1，又p为奇质数，所以(2，p)=1，于是由欧拉定理得2p-11(modp)，两边平方得22p-21(modp)，再由同余的性质有222p-22(mod2p)，即：22p-12(mod2p)。所以2p|(22p-1-2)。6．证明：整数a，b对模m同余的充分与必要条件是|()mab。证明：设11amqr，22bmqr，10r，2rm。若a≡b（modm），则12rr，因此12()abmqq，即m｜a－b。反之，若m｜a－b，则1212|()()mmqqrr，因此12|mrr，但12rrm，故12rr，即a≡b（modm）。7．设a是大于1的整数，证明44a是合数。证明：422224()444aaaa22222(2)4(22)(22)aaaaaa由于1a且是整数，所以22221,221aaaa，且均为整数，故当a是大于1的整数时，44a是合数。8．设m为整数，证明：22|(2)mm。证明：因为2(1)mmmm是两个连续整数的积，所以22|()mm。又2|2，所以由整除的性质知22|(2)mm。9．设p是质数，a与b是任二整数。证明：()(mod)pppababp。证明：因为p是质数，a与b是整数，所以(mod)paap，(mod)pbbp，于是(mod)ppababp。又()(mod)pababp，所以()(mod)pppababp。10．证明：若|am，|bm，并且(,)1ab，则|abm。证明：由(,)1ab得1asbt，所以asmbtmm，于是|abm。