2013年江苏省高考数学二轮复习专题15解析几何中的综合问题-

1解析几何中的综合问题1．椭圆x2a2＋y2b2＝1的内接矩形的面积最大值为________．解析：设P(x，y)为矩形的一个顶点，则x2a2＋y2b2＝1≥2x2y2a2b2＝2|xy|ab，所以S＝4|xy|≤2ab，当且仅当x2a2＝y2b2＝12时等号成立．答案：2ab2．两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________．解析：由题意得x3＋y4＝1(x0，y0)所以1＝x3＋y4≥2xy12即xy≤3，当且仅当x3＝y4＝12时等号成立．答案：33．和圆(x－3)2＋(y－1)2＝36关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是________．解析：圆心(3,1)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标为(－1，－3)，半径不变，方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝36.答案：(x＋1)2＋(y＋3)2＝364．若实数x，y满足x2＋y2－2x＝0，则x2＋y2的取值范围是________．解析：由y2＝2x－x2≥0得0≤x≤2，所以x2＋y2＝2x∈[0,4]．答案：[0,4]5．设A(x1，y1)，B4，95，C(x2，y2)是右焦点为F的椭圆x225＋y29＝1上三个不同的点，若AF，BF，CF成等差数列，则x1＋x2＝________.解析：根据圆锥曲线的共同性质可知A，B，C到右准线x＝254的距离成等差数列，则2254－4＝254－x1＋254－x2，即x1＋x2＝8.答案：8[典例1]2已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设a＝(x－3)i＋yj，b＝(x＋3)i＋yj，且满足|a|＋|b|＝4.(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)如果过点Q(0，m)且方向向量为c＝(1,1)的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当△AOB的面积取到最大值时，求m的值．[解](1)∵a＝(x－3)i＋yj，b＝(x＋3)i＋yj，且|a|＋|b|＝4.∴点P(x，y)到点(3，0)，(－3，0)的距离之和为4，故点P的轨迹方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意直线AB的方程为y＝x＋m.代入椭圆方程，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，则x1＋x2＝－85m，x1·x2＝45(m2－1)．因此，S△AOB＝12AB·d＝255－m2m2≤25×52＝1.当5－m2＝m2时，即m＝±102时，Smax＝1.(1)本题以向量为载体考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题．(2)求解解析几何中的最值问题，一般要先建立目标函数，再求最值，求最值的方法主要是配方法和利用基本不等式．[演练1]已知点A(－22，0)，B(－2，0)，动点P满足AP·AB＝2|AB|·|BP|，若动点P的轨迹记作曲线C1.[来源:学.科.网](1)求曲线C1的方程；(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D0，－23作斜率为k的直线l交曲线C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.解：(1)设P(x，y)，则有AP＝(x＋22，y)，AB＝(2，0)，BP＝(x＋2，y)．∵AP·AB＝2·|AB|·|BP|，∴2x＋4＝2·2·x＋22＋y2.化简得x24＋y22＝1.故曲线C1的方程为x24＋y22＝1.3(2)证明：由x24＋y22＝1，得Q(0，2)．设直线l的方程为y＝kx－23，代入x24＋y22＝1得(1＋2k2)x2－423kx－329＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则QM＝(x1，y1－2)，QN＝(x2，y2－2)．∴x1＋x2＝42k31＋2k2，x1·x2＝－3291＋2k2.∴QM·QN＝x1x2＋kx1－423kx2－423＝x1x2(1＋k2)－423k(x1＋x2)＋329＝－3291＋k21＋2k2－423k·42k31＋2k2＋329＝0.∴QM⊥QN.即点Q在以MN为直径的圆上．[典例2]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点－12，－2.[解](1)因为b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝22，故椭圆的方程为x28＋y24＝1.(2)证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，[来源:学|科|网Z|X|X|K]联立方程得，x28＋y24＝1，y＝kx＋m，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，[来源:学科网ZXXK]则x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－81＋2k2.由题知k1＋k2＝y1－2x1＋y2－2x2＝8，所以kx1＋m－2x1＋kx2＋m－2x2＝8，4即2k＋(m－2)x1＋x2x1x2＝8.所以k－mkm＋2＝4，整理得m＝12k－2.故直线AB的方程为y＝kx＋12k－2，即y＝kx＋12－2.所以直线AB过定点－12，－2.②若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝x0，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，则由题知y0－2x0＋－y0－2x0＝8，得x0＝－12.此时直线AB的方程为x＝－12，显然直线AB过点－12，－2.综上可知，直线AB过定点－12，－2.(1)本题主要考查椭圆的标准方程，直线方程及圆锥曲线中定值问题的证明．(2)证明直线过定点时，可先用参数表示出直线方程，再根据方程的特点去证明．(3)证明函数式为定值时，一般是写出其表达式，消去参数，从而证明为定值．[演练2]如图，已知椭圆的两个焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为22，点P是椭圆上一点，且在第一象限内，1PF·2PF＝1，过点P作关于直线PF1对称的两条直线PA、PB，分别交椭圆于A、B两点．(1)求点P的坐标；[来源:学科网ZXXK](2)求证：直线AB的斜率为定值．解：(1)设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．因为椭圆的短轴长为22，离心率为22，所以2b＝22，ca＝22，解得a＝2，b＝2，c＝2，所以椭圆的方程为y24＋x22＝1.所以F1(0，2)，F2(0，－2)．设P(x0，y0)(x00，y00)，则1PF＝(－x0，2－y0)，2PF5＝(－x0，－2－y0)，所以1PF·2PF＝x20－(2－y20)＝1.又点P(x0，y0)在椭圆上，则x202＋y204＝1，所以x20＝4－y202，从而4－y202－(2－y20)＝1，解得y0＝2或y0＝－2(舍去)，则点P的坐标为(1，2)．(2)证明：由(1)知PF1∥x轴，所以直线PA、PB的斜率互为相反数．设直线PB的斜率为k，不妨令k0，则直线PB的方程为y－2＝k(x－1)，由y－2＝kx－1，x22＋y24＝1，得(2＋k2)x2＋2k(2－k)x＋(2－k)2－4＝0.设B(xB，yB)，则xB＝2－k2－42＋k2＝k2－22k－22＋k2，同理可得xA＝k2＋22k－22＋k2.所以xA－xB＝42k2＋k2，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝8k2＋k2.所以直线AB的斜率kAB＝yA－yBxA－xB＝2为定值．[典例3]已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22的椭圆C经过点(6，1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1、l2分别与椭圆交于A，B和C，D，那么是否存在常数λ使得AB＋CD＝λ·AB·CD？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由离心率e＝ca＝22，c2＝a2－b2，可得a2－b2a2＝12，从而a2＝2b2，故椭圆C的标准方程为x22b2＋y2b2＝1，将点(6，1)代入椭圆方程可得b2＝4，6易知a2＝8，则椭圆C的标准方程为x28＋y24＝1.(2)原问题等价于1AB＋1CD＝λ(λ为常数)．不妨取椭圆C的右焦点(2,0)，①当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入椭圆方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－81＋2k2.根据弦长公式易得AB＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·8k21＋2k22－4·8k2－81＋2k2＝421＋k21＋2k2，从而易知，CD＝421＋k22＋k2，所以1AB＋1CD＝328，AB＋CD＝328AB·CD.②当直线AB斜率不存在或为0时，AB、CD中一个是长轴的长度，另一个是通径的长度．易得AB＋CD＝328AB·CD.综上所述，存在常数λ＝328，使得AB＋CD＝λAB·CD.本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质及圆锥曲线中的探索性问题．本题(2)的解法中将等式巧妙变形，即把问题转化为弦长的计算问题，体现了化归思想的重要作用．[演练3]已知A、B为椭圆x24＋y23＝1的左、右顶点，F为椭圆的右焦点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l：x＝m(m2)于M、N两点，l交x轴于C点．(1)当PF∥l时，求点P的坐标；(2)是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过点F？若存在，求出实数m的值；若不7存在，请说明理由．解：(1)∵a2＝4，b2＝3，∴c＝a2－b2＝1.连结PF，当PF∥l时，将x＝1代入x24＋y23＝1，得y＝±32，则P1，±32.(2)设椭圆上任意一点P(x0，y0)，易得直线AM的方程为y＝y0x0＋2(x＋2)，由y＝y0x0＋2x＋2，x＝m，得Mm，m＋2y0x0＋2.直线BN的方程为y＝y0x0－2(x－2)，由y＝y0x0－2x－2，x＝m，得Nm，m－2y0x0－2.∵点P(x0，y0)在椭圆x24＋y23＝1上，∴x204＋y203＝1，变形得y20x20－4＝－34，∴kMF·kNF＝m＋2y0x0＋2m－1·m－2y0x0－2m－1＝m2－4y20m－12x20－4＝m2－4m－12·－34＝－3m2－44m－12.要使以MN为直径的圆过点F，即要满足MF⊥NF，则kMF·kNF＝－1，解得m＝4.所以存在m＝4，使得以MN为直径的圆过点F.[专题技法归纳]1．定点定值问题的求解策略：(1)从一般的情形进行论证．[来源:学科网](2)运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对一般情形也成立．2．求解最值问题应注意：(1)如果建立的函数是关于斜率k的函数，要增加考虑斜率不存在的情况；(2)如果建立的函数是关于点的坐标x，y的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题．81.(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26.答案：262．(2012·江西高考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的ca为____________．解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·