2013年湖北八校联考理科数学

湖北省八校2013届高三第二次联考数学试题（理科）考试时间：2012年3月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。★祝考试顺利★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．２.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U＝R，集合22,Axyxx集合2,xByyxR，则()RCAB（）A.2xxB.01xxC.12xx＜D．0xx2.曲线sin,cos2yxyx和直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为（）20.sincosAxxdx40.2sincosBxxdx20.cossinCxxdx40.2cossinDxxdx3.对于平面和共面,mn的直线，下列命题是真命题的是：（）mnmA所成的角相等，则与若,.∥nmB若.∥,n∥，则：m∥nnmmC,.若，则n∥mD若.,n∥，则：m∥n鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄阳四中、襄阳五中、孝感高中4.下列4个命题:（1）命题“若ab，则22ambm”；（2）“2a”是“对任意的实数x，11xxa成立”的充要条件；（3）设随机变量服从正态分布N（0，1），若1(1),(10)2PpPp则；（4）命题“xR，02xx”的否定是：“xR，02xx”其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.45.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到频率分布直方图如下左图，由于不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.1之间的学生人数为b,则a和b的值分别为（）A.0.2778B.0.2785C.2.778D.2.7856.如上右图所示的是根据输入的x值计算y的值的程序框图，若x依次取数列216{}()nnNn中的项，则所得y值的最小值为（）A．4B．8C．16D．327．已知函数xxfx21log2)(，且实数abc0满足0)()()(cfbfaf，若实数0x是函数y=)(xf的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是（）A．ax0B．ax0C．bx0D．cx0开始输入xx8?否y=2x是2yx输出y结束0.3视力O4.34.40.14.54.64.74.84.95.05.1频率组距5.28．三角形的内角平分线定理是这样叙述的：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。已知在△ABC中，∠A=60o，∠A的平分线AD交边BC于点D，设AB＝3，且1()3ADACABR，则AD的长为（）A．23B．3C．1D．39.已知集合A={xR|2121xx},集合B={aR|已知函数xxaxfln1)(，x00，使0)(0xf成立}，则BA=（）A．{x|21x}B．{x|121xx或}C．{x|121xx或}D．{x|121xx或}10.记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上。11、44320123421,,,0,1,2,3,4izixzaxaxaxaxaaCia若且则。12.若函数sin3cosfxxx(,0)xR满足2,0,ff且的最小值为2，则函数()fx的单调增区间为.13.设实数,xy满足约束条件2208400,0xyxyxy，若目标函数)0,0(babyaxz的最大值为9，则d=ba4的最小值为_____。14．如图，直线l⊥平面，垂足为O，已知在直角三角形ABC中，BC＝1，AC＝2，AB＝5．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）Al，（2）C．则B、O两点间的最大距离为．AOCB15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）题计分）（1）(《坐标系与参数方程选讲》选做题).已知曲线C的极坐标方程为cos2，则曲线C上的点到直线ttytx(21为参数）距离的最大值为.（2）（《几何证明选讲》选做题）.已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，ACBABAEDFADF的平分线分别交、于点、，则.三．解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（本题满分12分）已知向量2(cos,1),(3sin,cos)222xxxmn，设函数()fxmn＋1（1）若[0,]2x，11()10fx,求cosx的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是,,abc，且满足2cos23bAca，求()fx的取值范围．CEABODF17.(本题满分12分)中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。湖北理工学院湖北师范学院99650721151617181989125893460118.(本题满分12分)已知直三棱柱111CBAABC的三视图如图所示，且D是BC的中点．（Ⅰ）求证：1AB∥平面1ADC；（Ⅱ）求二面角1CADC的余弦值；（Ⅲ）试问线段11AB上是否存在点E，使AE与1DC成60角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．19.(本题满分12分)各项为正数的数列na的前n项和为nS，且满足：.4121412NnaaSnnn（1）求na；（2）设函数为偶数，为奇数，nnfnanfn,2,,42NnfCnn求数列.nnCnT的前项和20.(本题满分13分)设平面内两定点0,50,521FF、，直线PF1和PF2相交于点P,且它们的斜率之积为定值45；（Ⅰ）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设M（0，15），N为抛物线C2：2xy上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P、Q两点，求MPQ面积的最大值．21.(本题满分14分)（1）证明不等式：ln(1)(0)1xxxx（2）已知函数()ln(1)axfxxax在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围。（3）若关于x的不等式111xxbxe在[0,)上恒成立，求实数b的最大值。湖北省八校2012届高三第二次联考数学试题（理科）参考答案一、选择题：题号12345678910答案ADDBBCDACD二、填空题:11、12i；12、5[2,2]()66kkkZ；13、34；14、12；15、（1）4515（2）045三、解答题:231cos161()3sincoscos1sin1222223111sincossin()22262xxxxfxxxxx、解：（）……………………3分∵11()10fx,∴3sin()65x；又∵[0,]2x，∴[,]663x，即4cos()65x433coscos[()]cos()cossin()sin6666661010xxxx…………………………6分22bcosA2c2sincos2sin3sin2sincos2sin()3sin2sincos2[sincoscossin]3sin32sincos3sincos(0,]26BAcABAABABAABABAABABB（）由－得：………………10分鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄阳四中、襄阳五中、孝感高中∴1sin()(,0]62B，即11()sin()()(0,]622fBBfB17、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：5.1682169168.……………………2分（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220人，“非高个子”为125320人；则至少有1人为高个子的概率P＝1－2325710CC……………………6分（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则的可能取值为0,1，2,3；故353810(0)56CPC，21533830(1)56CCPC，12533815(2)56CCPC，33381(3)56CPC，即的分布列为：0123P105630561556156E＝01056＋13056＋21556＋3156＝98。答：（略）……………12分18、解：（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱111CBAABC是直三棱柱，12ABBCAA，90ABC连结1AC，交1AC于点O，连结OD.由111CBAABC是直三棱柱，得四边形11ACCA为矩形，O为1AC的中点.又D为BC中点，所以OD为1ABC△中位线，所以1AB∥OD，……2分因为OD平面1ADC，1AB平面1ADC，所以1AB∥平面1ADC.…………4分（Ⅱ）解：由111CBAABC是直三棱柱，且90ABC，故1,,BBBCBA两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyzB.…………5分2BA，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1DCACB.所以(1,2,0)AD，1(2,2,1)AC设平面1ADC的法向量为=()x,y,zn，则有10,0.nADnAC所以20,220.xyxyz取1y，得)2,1,2(n.………………………6分易知平面ADC的法向量为(0,0,1)v.………7分由二面角1CADC是锐角，得||2cos,3nvnvnv.……………8分所以二面角1CADC的余弦值为23.（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E.因为E在线段11BA上，)1,2,0(1A，)1,0,0(1B，故可设)1,,0(E，其中02.所以(0,2,1)AE，1(1,0,1)DC.………………………9分因为AE与1DC成60角，所以1112AEDCAEDC.………………………10分即2112(2)12，解得1，舍去3.……………………1