2013年聊城市初中学业考试数学试题(含详细答案解析)

2013年聊城市初中学业考试数学试题满分120分，时间120分钟一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（－2）3的相反数是（）A．－6B．8C．－61D．812．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．0.25×10－5B．0.25×10－6C．2.5×10－5D．2.5×10－63．如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是（）个．A．3B．4C．5D．64．不等式组024,213xx的解集在数轴上为（）A．B．C．D．5．下列命题中的真命题是（）A．三个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形6．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（）个．A．1B．2C．3D．47．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米，那么钢丝大约需加长（）厘米．A．102B．104C．106D．1088．二次函数y=ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax＋b的图象大致是（）A．B．C．D．9．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（）米．A．12B．43C．53D．6310．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生的成绩达到优秀．估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（）人．A．50B．64C．90D．9611．如图，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．若△ABD的面积为a，则ACD的面积为（）．A．aB．21aC．31aD．52a12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=21x2经过平移得到抛物线y=21x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（）．A．2B．4C．8D．16二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）13．若x1=－1是关于x的方程x2＋mx－5=0的一个根，则方程的另一个根x2=．14．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°．用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为厘米．15．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D、E、F、G、H五个队．如果从A、B、D、E四个队与C、F、G、H四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是．16．如图，在等边ABC中，AB=6，点D是BC的中点．将ABD绕点A旋转后得到ACE，那么线段DE的长度为．17．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n＋1（n为自然数）的坐标为．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．（本题满分7分）计算：22441422xxxxxxx．19．（本题满分8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．20．（本题满分8分）小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，下图是他们投标成绩的统计图．（1）根据图中信息填写下表：平均数中位数众数小亮7小莹79（2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好．21．（本题满分8分）夏季来临，天气逐渐炎热起来．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%．已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？22．（本题满分8分）如图，一只猫头鹰蹲在一颗树AC的点B处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住．为了寻找这只老鼠，猫头鹰向上飞至树顶C处．已知点B在AC上，DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观察F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上．（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（本题满分8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=－x8的图象在第二象限交于点C．如果点A的坐标为（2，0），B是AC的中点．（1）求点C的坐标；（2）求一次函数的解析式．24．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=43，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．25．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．参考答案1．【考点】有理数的乘方；相反数．【分析】－（－2）3=－（－8）=8．【解答】B2．【考点】科学记数法（表示较小的数）．【分析】0.0000025=2.5×10－6．【解答】D【点评】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．【考点】由三视图判断几何体．【分析】综合三视图可看出，底面有3个小立方体，第二层应该有1个小立方体，因此小立方体的个数应该是3＋1=4个．【解答】B【点评】从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．4．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】∵解不等式①得x＞1，解不等式②得x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：【解答】A5．【考点】命题与定理．【分析】A、根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误；B、根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误；C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；D、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误．【解答】C【点评】熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识．6．【考点】随机事件．【分析】①②是随机事件．【解答】B【点评】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．7．【考点】整式的加减；圆的认识．【分析】设地球半径为rcm，则地球的周长为2πrcm，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，故此时钢丝围成的圆形的周长变为2π（r＋16）cm，∴钢丝大约需要加长2π（r＋16）－2πr≈100（cm）=102（cm）．【解答】A8．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=－ab2＞0，∴b＞0，∴一次函数y=ax＋b的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，C选项图象符合．【解答】C9．【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）．【分析】Rt△ABC中，BC=6米，ACBC=1：3，∴则AC=BC×3=63，∴AB=22BCAC=22)36(6=12．【解答】A【点评】解直角三角形的应用，关键在于构造直角三角形并解直角三角形．10．【考点】用样本估计总体．【分析】随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有15名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为15÷50=30%，又∵某校七年级共320名学生参加数学测试，∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为320×30%=96人．【解答】D【点评】一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．11．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为31a．【解答】C【点评】相似三角形的面积比等于相似比的平方．12．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】过点C作CA⊥y，∵抛物线y=21x2－2x=21（x2－4x）=21（x2－4x＋4）－2=21（x－2）2－2，∴顶点坐标为C（2，－2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为2×2=4．【解答】B【点评】根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换．13．【考点】根与系数的关系．【分析】∵关于x的方程x2＋mx－5=0的一个根为x1=－1，设另一个为x2，∴－x2=－5，解得x2=5，则方程的另一根是x2=5．【解答】5【点评】一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），当b2－4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1＋x2=－ab，x1x2=ac．14．【考点】圆锥的计算．【分析】扇形的弧长是18060150=50πcm，设底面半径是rcm，则2πr=50π，解得r=25．【解答】25【点评】圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．【考点】列表法与树状图法．【分析】画树状图：∵共有16种等可能的结果，首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有6种情况，∴首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是166=83．【解答】83【点评】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率=所求情况数与总情况数之比．16．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，∴AD=ABcos30°=6×23=33．根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，∴∠DAE=∠EAC＋∠BAD=60°，∴△ADE的等边三角形，∴DE=AD=33，即线段DE的长度为33．【解答】33【点评】旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．17．【考点】规律型（点的坐标）．【分析】由图可知，n=1时，4×1＋1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2＋1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3＋1=13，点A13（6，1），所以，点A4n＋1（2n，1）．【解答】（2n，1）【点评】仔细观察图形，分别求出n=1、2、3时对应的点A4n＋1的对应的坐标．18．【考点】分式的混合运算．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=（22xx－2xx）•12xx=22x•12xx=－12x．【点评】分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．19．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性