2013年高中数学教学论文处理三角函数易错题的六绝招

用心爱心专心-1-处理三角函数易错题的六绝招第一招三角函数中，隐含条件的挖掘【例1】已知方程23340xx的两个实数根是tan,tan，且,(,)22，则等于（）A．23B．23C．3或23D．2-33或【解】tan,tan是方程23340xx的两个实数根，tantan330,tantan40.又,(,)22，所以,(,0)2，从而0，又tantan33tan()31tantan14，23第二招三角形中，角大正弦大【例2】在ABC中，35sin,cos,513AB求cosC的值。【解】2512cos,sin1cos.1313BBB123sinsin,135BABA所以，A一定是锐角，从而24cos1sin5AA所以绝对值较大的加数为“-”两数“同号”因为tan(α+β)=3,所以()3kkZ.又因为0，所以03k，解得4133k,因为kZ,所以1k,从而23.先求正弦，后求余弦用心爱心专心-2-coscoscosCABAB(coscossinsin)ABAB1665．第三招已知三角函数值求角错因分析【例3】若510sin,sin510，且,均为锐角，求的值．【错解】为锐角，225cos1sin5。又为锐角，2310cos1sin10。且2sin()sincoscossin2，由于090,090，0180，故45或135。〖错因剖析〗没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错。事实上，仅由2sin()2，0180而得到45或135是正确的，但题设中51101sin,sin52102，使得030,030从而060，故上述结论是错误的。…………………………——缩角是一种重要技巧〖点拨〗因为cosyx在0,上是单调函数，所以本题先求cos()不易出错。正解为锐角，2251sin5cos。又为锐角，23101sin10cos。技巧点拨在ABC中，sinsinabABAB．用心爱心专心-3-且2cos()coscossinsin2，由于090,090，0180，故45。〖练习〗若Ａ、B均为锐角，且110tan,sin710AB，则A+2B的值为．【解】∵10sin10B且B为锐角，∴310cos10B，∴1tan,3B∴22tan3tan2,1tan4BBB∴22tantan(2)1,1tanBABB又∵101sinsin30102B，∴030B，∴02150AB，∴A+2B=45．第四招你肯定会错【例4】（2007全国Ⅰ—理17）设锐角三角形ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，2sinabA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cossinAC的取值范围【解】（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，考生应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0,)时，一般选余弦函数，若是(,)22，则一般选正弦函数．启迪归纳用心爱心专心-4-（Ⅱ）cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A由ABC△为锐角三角形知：22263AB，从而2336A，所以13sin232A由此有333sin3232A，所以，cossinAC的取值范围为3322，〖练习〗（2009湖南—文14）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于2，AC的取值范围为)3,2(.〖点拨〗因为ABC是锐角三角形锐角，所以2AB，且2B，从而有64A，于是22cos3A，故23AC．第五招数形结合也未见得好【例5】在区间,22范围内，函数tanyx与函数sinyx的图象交点的个数为（）注意：锐角三角形中的隐含条件任意两内角的和大于2．技巧点拨锐角ABC中，恒有2AB．用心爱心专心-5-A．1B．2C．3D．4【解】在同一坐标系中，作出sinyx与tanyx，在,22内的图象，很难做到精确，容易误认为3个交点．联想到不等式“sintanxxx（x0,2）”，故sinyx与tanyx，在0,2内的图象无交点，又它们都是奇函数，从而sinyx与tanyx，在,02内的图象也无交点，所以在区间,22范围内，函数tanyx与函数sinyx的图象交点的个数为1个，即坐标原点0,0．第六招同角正余弦的和、差、积、倍互化中的陷阱铲除已知sincos或sincos求sin、cos、tan、cot、sin2、cos2的值。【例6】（1994全国—理18）已知1sincos,0,5，则tan的值是【解】由sinα＋cosα＝15〉0，两边平方得2sinαcosα＝－24250，∴1―2sinαcosα=4925,且2，∴有sinα－cosα＝75，与sinα＋cosα＝15，联立解得sinα＝45、cosα＝－35，∴tanα＝－43。这类问题的解决首先必须对角α的范围进行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行（尤其是三角函数问题）”的解题基本原则．绝对值较大的加数为“+”两数“异号”