2013年高中数学竞赛辅导试题指数函数与对数函数

第3节指数函数、对数函数．指数函数y=ax与对数函数y=xalog,(1,0aa)是互为反函数即bxbaaxlog它是实现指数式与对数式相互转换的桥梁。当a1时，两个函数在定义域内都递增；当0a1时，两个函数在定义域内都递减。[举例1]光线透过一块玻璃板，其强度要减弱101，要使光线的强度减弱到原来的31以下，至少需要这样的玻璃板块。（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771）解析：记光线原来的强度为a，透过一块玻璃板后其强度变为109a，透过n块玻璃板后其强度变为：an)109(，则an)109(31a,即n)109(31,n(2lg3-1)-lg33lg213lgn≈10.4,(注意：2lg3-10),∴n=11.[举例2]loga132，则a的取值范围是（）（A）（0，32）（1，+）（B）（32，+）（C）（1,32）（D）（0，32）（32，+）解析：若a1，则32a,∴a1；若0a1,则32a,∴0a32；综上，选A。（本题中视1为logaa是化“数”为“对数”的通法）。[巩固]若1,,618.03kkaa，Zk，则k=__________。[提高]方程x+lgx=3,x+10x=3的解分别为x1,x2,则x1+x2=____________3．关注对数函数的定义域，特别是在解对数不等式（留意对数变形的等价性）和研究对数函数的单调性（函数有意义才谈得上增减）时。[举例1]函数f(x)的图像与函数g(x)=(21)x的图像关于直线y=x对称，则f(2x-x2)的单调减区间为（）（A）（0，1）（B）[1，+]（C）（-，1）（D）[1，2]解析：f(x)与g(x)互为反函数，即f(x)=x21log,f(2x-x2)=)2(log221xx,记h(x)=2x-x2,则h(x)递增（“外层”递减）且h(x)0(真数)，∴x∈(0,1],故选A。（在函数定义域内区间的“开”“闭”不影响函数的单调性，所以求函数单调区间时一般用开区间比较“稳妥”）。[举例2]已知命题p：xx2；命题q：22logx1；则命题p是命题q的：（）A．充分不必要条件，B．必要不充分条件，C．充要条件D．既不必要也不充分条件解析：命题p：xx2，移项通分得：022xx，“序轴标根”得：x∈),2()0,2(，命题q：22logx1等价于：2x2,即x∈),2()2,(（注意：不等式22logx1与不等式：2x2log1不等价，22logx1等价于2||log2x1）；从集合包含关系更容易看清两个命题的逻辑关系，选D。[巩固]已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是。4．函数y=ax的值域为（0，+）。特别关注函数y=ax的值与1的大小，函数y=xalog的值与0的大小。[举例1]函数y=121x的值域是（）（A）（-1,）（B）（-,0）（0，+）（C）（-1，+）（D）（-，-1）（0，+）解析：思路一：“逆求”：012yyx得：y0或y-1，选D。思路二：112x，“取倒数”要特别注意不等式两边同号，若-112x0,则121x-1；若12x0,则121x0,综上，选D。[举例2].若logm9logn90,那么m,n满足的条件是（）（A）mn1（B）nm1（C）0nm1（D）0mn1解析：logm9与logn9底数不同，比较大小不甚方便，注意到logm9=m9log1，则由logm9logn900log1log199nmlog9nlog9m00nm1,选C。[巩固]已知g(x)=loga1x(a0且a1)在（-1，0）上有g(x)0，则f(x)=a1x是（）（A）在（-，0）上的增函数（B）在（-，0）上的减函数（C）在（-，-1）上的增函数（D）在（-，-1）上的减函数5．函数y=)(logxga,(1,0aa)的值域主要取决于g(x)。如：0g(x)≤4,则)(log21xg∈[-2，+），其中0g(x)只是保证对数值存在的，并不限制对数值的范围。若g(x)无最（极）大值（即上无界），则函数y=)(logxga,(1,0aa)的值域为Rg(x)min≤0（特别地：当g(x)是二次项系数为正的二次函数时g(x)min≤0⊿≥0）；函数y=)(logxga有最值g(x)min≥0。[举例]函数y=log21(2x2-2x+1)的值域为。解析：2x2-2x+1=2（x-21）2+21≥21,log21(2x2-2x+1)≤1,∴函数值域为（-，1]。[巩固]设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列命题:①f(x)有最小值;②当a=0时,f(x)值域为R;③当a0时,在[2,+∞)上有反函数;④若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是a≥-4.其中正确命题的序号是_____________简答2、[巩固]-1，[提高]在同一坐标系内画函数y=3-x,y=lgx,y=10x的图象，交点为A、B，A、B关于直线y=x对称，得x1=3-x2；3、[巩固]g(x)=x2－ax＋3a在区间[2，＋∞)上递增且g(x)=x2－ax＋3a0在区间[2，＋∞)上恒成立，即a≤4且g(2)0得-4a≤4；4、[巩固]C；5、[巩固]②③