2013年高考数学二轮复习学案(数学思想方法部分)专题1分类讨论思想(江苏专用)

专题1分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题.预测在2013的高考题中：1继续与函数综合考查.2结合函数与方程思想以及等价转化思想考查学生分析问题、解决问题的能力.1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，则a的值为________，m的取值范围为________．解析：A＝{1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋1－a)＝0}，由A∪B＝A可得a－1＝1或a－1＝2，a＝2或3；由A∩C＝C，可知C＝{1}或{2}或{1,2}或∅，m＝3或－22＜m＜22.答案：2或3{3}∪(－22，22)2．函数y＝ax(a0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值是________．解析：当a1时，y＝ax在[1,2]上递增，故a2－a＝a2，得a＝32；当0a1时，y＝ax在[1,2]上单调递减，故a－a2＝a2，得a＝12.故a＝12或a＝32.答案：12或323．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a，b应满足________．解析：①当a0时，需x－b恒为非负数，即a0，b≤0.②当a0时，需x－b恒为非正数．又∵x∈[0，＋∞)，∴不成立．综上所述，a0且b≤0.答案：a0且b≤04．过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是________．解析：当直线过原点时方程为3x－2y＝0，当直线不过原点时，设方程为xa＋ya＝1，代入P的坐标可得a＝5.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝05．已知平面单位向量a，b，c夹角两两相等，则|a＋b＋c|＝________.解析：由题意知夹角为2π3或0.当夹角为2π3时，a＋b＝－c，|a＋b＋c|＝0；当夹角为0时，|a＋b＋c|＝3|a|＝3.答案：0或3[典例1]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.[解](1)当a＝0时，原不等式化为－x＋10，∴x1.(2)当a≠0时，原不等式化为a(x－1)x－1a0，①若a0，则原不等式化为(x－1)x－1a0，∴1a0.∴1a1.∴不等式解为x1a或x1.②若a0，则原不等式化为(x－1)x－1a0，(ⅰ)当a1时，1a1，不等式解为1ax1；(ⅱ)当a＝1时，1a＝1，不等式解为x∈∅；(ⅲ)当0a1时，1a1，不等式解为1x1a.综上所述，得原不等式的解集为当a0时，解集为xx1a或x1；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为x1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x1ax1.本题是一个含参数a的不等式的求解问题，但不一定是二次不等式，故首先对二次项系数a分类：(1)a＝0，(2)a≠0，对于(1)，不等式易解；对于(2)又需再次分类：a0或a0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；而a＞0时又遇到1与1a谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论，故需要作三级分类．[演练1]已知函数f(x)＝x|x－a|(a∈R)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)解关于x的不等式：f(x)≥2a2.解：(1)当a＝0时，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．当a≠0时，f(a)＝0且f(－a)＝－2a|a|.故f(－a)≠f(a)且f(－a)≠－f(a)．∴f(x)是非奇非偶函数．(2)由题设知x|x－a|≥2a2，∴原不等式等价于xa，－x2＋ax≥2a2，①或x≥a，x2－ax≥2a2.②由①得xa，x2－ax＋2a2≤0.解得x∈∅.由②得x≥a，x－2ax＋a≥0.当a＝0时，x≥0，当a0时，x≥a，x≥2a或x≤－a，即x≥2a；当a0时，x≥a，x≤2a或x≥－a，即x≥－a.综上所述，a≥0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a}；a0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥－a}．[典例2]已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若∃x∈R使f(x)b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．[解](1)由∃x∈R，f(x)bg(x)，得∃x∈R，x2－bx＋b0，所以Δ＝(－b)2－4b0，解得b0或b4.(2)由题设得F(x)＝x2－mx＋1－m2，对称轴方程为x＝m2，Δ＝m2－4()1－m2＝5m2－4.由于|F(x)|在[0,1]上单调递增，则有①当Δ≤0即－255≤m≤255时，有m2≤0，－255≤m≤255，解得－255≤m≤0.②当Δ0即m－255或m255时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1x2)，(ⅰ)若m255，则m255，有m2≥1，x10⇔F0＝1－m20.解得m≥2；(ⅱ)若m－255，即m2－55，有x10，x2≤0；∴x1＋x20⇒m0，x1x2≥0⇒1－m2≥0⇒－1≤m≤1，m－255，解得－1≤m－255.由(ⅰ)(ⅱ)得－1≤m＜－255或m≥2.综合①②有－1≤m≤0或m≥2.第一问是二次不等式恒成立，直接用Δ控制；第二问是绝对值函数的单调性问题，首先化成分段函数，然后寻找在闭区间[0,1]上单调递增的条件求解，研究此类问题需要研究出分段函数的各种分界点，如极值点、拐点等单调性分界点．[演练2](2012·苏中二模)已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝lnx.(1)当a＝1时，求f(x)的极小值；(2)若在区间[1,2]上函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方(没有公共点)，求a的取值范围；(3)当a0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式．解：(1)∵当a＝1时f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x∈(－1,1)时f′(x)0，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时f′(x)0.∴f(x)在(－1,1)上单调递减，在(－∞，－1)，[1，＋∞)上单调递增．∴f(x)的极小值为f(1)＝－2.(2)因为在区间[1,2]上函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方，所以x3－3axlnx在[1,2]上恒成立，即3ax2－lnxx在[1,2]上恒成立．设m(x)＝x2－lnxx，则m′(x)＝2x－1－lnxx2＝2x3＋lnx－1x2，因为2x3－10，lnx≥0，所以m′(x)0.所以m(x)在[1,2]上单调递增．所以m(x)min＝m(1)＝1.所以3a1，即a13.(3)因h(x)＝|f(x)|＝|x3－3ax|在[－1,1]上为偶函数，故只需求在[0,1]上的最大值即可．当a0时f′(x)＝3x2－3a＝3(x＋a)(x－a)，①当a≥1，即a≥1时h(x)＝|f(x)|＝－f(x)，－f(x)在[0,1]上单调递增，此时F(a)＝－f(1)＝3a－1.②当0a1，即0a1时，h(x)＝|f(x)|在[0，a]上单调递减，在[a，1]上单调递增．1°当f(1)＝1－3a≤0即13≤a＜1时，h(x)＝|f(x)|＝－f(x)在[0，a]上单调递增，在[a，1]上单调递减，故F(a)＝－f(a)＝2aa.2°当f(1)＝1－3a0，即0a13时，(ⅰ)当－f(a)≤f(1)＝1－3a，即0＜a≤14时，F(a)＝f(1)＝1－3a.(ⅱ)当－f(a)f(1)＝1－3a，即14a13时，F(a)＝－f(a)＝2aa.综上F(a)＝1－3a，0＜a≤14，2aa，14a1，3a－1，a≥1.[典例3]设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn0(n＝1,2,3…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－32an＋1，{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．[解](1)因为{an}是等比数列，Sn0，可得a1＝S10，q≠0.当q＝1时，Sn＝na10.当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q0，即1－qn1－q0(n＝1,2,3，…)，则有1－q0，1－qn0，①或1－q0，1－qn0.②由②得q1，由①得－1q1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由bn＝an＋2－32an＋1＝anq2－32q，∴Tn＝q2－32qSn.于是Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)，又Sn0且－1q0或q0，则当－1q－12或q2时，Tn－Sn0，即TnSn；当－12q2且q≠0时，Tn－Sn0，即TnSn；当q＝－12或q＝2时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn.利用等比数列求和公式时要对q进行讨论，否则容易漏解．[演练3]等差数列{an}中，a1＝2，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于________．解析：设{an}的公差为d，则(2＋2d)2＝2×(2＋10d)，解得d＝0或3，q＝1或4.答案：1或4[专题技法归纳]分类讨论的常见类型：(1)由数学概念引起的分类讨论，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算引起的分类讨论，如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数运算中真数和底数的要求等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限、点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论，如含参数的方程不等式等．1．已知圆x2＋y2＝4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为________．解析：由22＋424得点P在圆x2＋y2＝4外，由几何性质分析知过点P且与圆相切的直线有两条，设直线斜率为k，则切线方程为y－4＝k(x－2)，由圆心到切线的距离为2，解得k＝34.由此可知斜率不存在时也满足题意，解得切线方程为3x－4y＋10＝0或x＝2.答案：3x－4y＋10＝0或x＝22．△ABC中，已知sinA＝12，cosB＝513，则cosC＝________.解析：∵0cosB＝51322，且B为△ABC的一个内角，∴45°B90°，且sinB＝1213.若A为锐角，由sinA＝12，得A＝30°，此时cosA＝32.若A为钝角，由sinA＝12，得A＝150°，此时A＋B180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见A≠150°.∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－[cosA·cosB－sinA·sinB]＝－32·513－12·1213＝12－5326.答案：12－53263．若函数f(x)＝13(a－1)x3＋12ax2－14x＋15在其定义域内有极值点，则a的取值范围为________．解析：由题意得f′(x)＝(a－1)x2＋ax－14＝0有解．当a－1＝0时，满足；当a－1≠0时，只需Δ＝a2＋(a－1)0.答案：－∞，－1－52∪－1＋52，＋∞4．(2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝