2013年高考数学全解全析-安徽卷(理)

DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护年高考数学全解全析－安徽卷（理）第Ⅰ卷一、选择题1．设i是虚数单位.z是复数z的共轭复数．若z·zi＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案A解析设z＝a＋bi，a，b∈R代入z·zi＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi则2a＝2a2＋b2＝2b，解得a＝1b＝1，因此z＝1＋i.2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A.16B.2524C.34D.1112答案D解析赋值S＝0，n＝2进入循环体：检验n＝28，S＝0＋12＝12，n＝2＋2＝4；检验n8，S＝12＋14＝34，n＝4＋2＝6；检验n8，S＝34＋16＝1112，n＝6＋2＝8，检验n＝8，脱离循环体，DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护＝1112.3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案A解析B、C、D选项是公理．4．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若a＝0，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增；若a≠0，f(x)＝|(ax－1)x|＝ax－12x2f′(x)＝2a2xx－12ax－1a|ax－1x|；当x0时，若a0，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上递增．若a0，由f′(x)0解得0x12a或x1a.因此“a≤0”⇔“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”．5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案C解析x男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，s2甲＝15(42＋42＋22＋22＋02)＝8，s2乙＝15(32＋22＋22＋32＋22)＝6.DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护．已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x－1或x12，则f(10x)0的解集为()A．{x|x－1或x－lg2}B．{x|－1x－lg2}C．{x|x－lg2}D．{x|x－lg2}答案D解析由已知条件010x12，解得xlg12＝－lg2.7．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1答案B解析如图，在极坐标系中圆ρ＝2cosθ与圆ρ＝2cosθ垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2和ρcosθ＝2.8．函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得fx1x1＝fx2x2＝…＝fxnxn，则n的取值范围为()A．{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}答案B解析过原点作直线与函数y＝f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n的取值范围是{2,3,4}．9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，则点集{P|OP→＝λOA→＋μOB→.|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．22B．23C．42D．43DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护解析由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，知cos∠AOB＝12，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝π3，点集{P|OP→＝λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域如图所示；其面积为4S△AOB＝43.10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()A．3B．4C．5D．6答案A解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知x1≠x2，且3x21＋2ax1＋b＝0，3x22＋2ax2＋b＝0，若x1x2，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同的实根．若x1x2，如图同理方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护二、填空题11．若x＋a3x8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.答案12解析Tr＋1＝Cr8x8－ra3xr＝arCr8x8－43r，由8－43r＝4得r＝3，由已知条件a3C38＝7，则a3＝18，a＝12.12．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.答案2π3解析由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝5b3，c＝2a－b＝7b3cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，又0Cπ，因此角C＝2π3.13．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a由y＝x2x2＋y－a2＝a得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由已知a0a－1≥0，解得a≥1.14．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．答案an＝3n－2解析由已知S梯形AnBnBn＋1An＋1＝S梯形An＋1Bn＋1Bn＋2An＋2S△OBn＋1An＋1－S△OBnAn＝S△OBn＋2An＋2－S△OBn＋1An＋1，DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护△OBnAn＋S△OBn＋2An＋2＝2S△OBn＋1An＋1由相似三角形面积比是相似比的平方知OA2n＋OA2n＋2＝2OA2n＋1，即a2n＋a2n＋2＝2a2n＋1，因此{a2n}为等差数列a2n＝a21＋3(n－1)＝3n－2，an＝3n－2.15．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0CQ12时，S为四边形；②当CQ＝12时，S为等腰梯形；③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13；④当34CQ1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为62.答案①②③⑤解析截面S与DD1的交点为M，由平面与平面平行的性质定理知AM∥PQ，若0CQ12，则M在线段DD1上(不包括端点)如图S为四边形，命题①正确；当CQ＝12时，M点与D1重合，四边形APQD1为等腰梯形，命题②正确；当CQ＝34时，由△PCQ∽△ADM，DMAD＝CQPC，则DM＝AD·CQPC＝32.连接MQ交C1D1于R点C1RD1R＝C1QD1M＝12，即D1R＝2C1R，又D1R＋C1R＝1，则C1R＝13故命题③正确．当34CQ1时，连接AM交A1D1于N，则截面S为五边形APQRN，命题④错误．当CQ＝1时，截面S为菱形，其对角线长分别为2，3，则S的面积12·2·3＝62，故命题⑤正确．三、解答题DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护．已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．解(1)f(x)＝4coswx·sinwx＋π4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin2ωx＋π4＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋π4＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2.即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．17．设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a0，区间I＝{x|f(x)0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．解(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a0)有两个实根x1＝0，x2＝a1＋a2.故f(x)0的解集为{x|x1xx2}．因此区间I＝0，a1＋a2，I的长度为a1＋a2.DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕