2013年高考数学总复习10-7二项式定理(理)但因为测试新人教B版

由79教育网二项式定理(理)但因为测试新人教B版1.(2011·三门峡模拟)若二项式(x－2x)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为()A．6B．10C．12D．15[答案]C[解析]∵T5＝C4n(x)n－4·(－2x)4＝24·C4nxn－122是常数项，∴n－122＝0，∴n＝12.2．(2011·北京模拟)(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n＝()A．3B．4C．5D．6[答案]D[解析]Tr＋1＝Crn(x2)n－r·(－1x)r＝(－1)r·Crnx2n－3r，令2n－3r＝0得，r＝2n3，∴n能被3整除，结合选项，当n＝3时，r＝2，此时常数项为(－1)2·C23＝3，不合题意，当n＝6时，r＝4，常数项为(－1)4C46＝15，∴选D.3．(2011·烟台月考)如果(3x－13x2)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是()A．7B．－7C．21D．－21[答案]C[解析]∵2n＝128，∴n＝7，∴Tr＋1＝Cr7(3x)7－r·(－13x2)r＝(－1)r·37－r·Cr7·x7－5r3，令7－5r3＝－3得r＝6，∴1x3的系数为(－1)6·3·C67＝21.4．(2011·重庆理，4)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n由79教育网提供资源全部免费＝()A．6B．7C．8D．9[答案]B[解析]展开式通项：Tr＋1＝Crn(3x)r＝3rCrnxr由题意：35C5n＝36C6n即C5n＝3C6n，∴n！5！n－！＝3·n！6！n－！∴1n－5＝36∴n＝7.选B.5．(2011·银川模拟)在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．－7B．7C．－28D．28[答案]B[解析]由条件知n＝8，∴Tr＋1＝Cr8(x2)8－r·(－13x)r＝(－1)r·2r－8·Cr8·x8－4r3令8－4r3＝0得，r＝6，∴展开式的常数项为(－1)6·26－8·C68＝7.6．(2011·河北石家庄一模)多项式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为()A．10B．45C．－9D．－45[答案]B[解析]x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C110(x－1)＋C210(x－1)2＋…＋C1010(x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10对任意实数x都成立，∴a8＝C810＝C210＝45.7．(2011·广东理，10)x(x－2x)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)[答案]84[解析]x4的系数，即(x－2x)7展开式中x3的系数，由79教育网＋1＝Cr7·x7－r·(－2x)r＝(－2)r·Cr7·x7－2r，令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C27＝84.8．(2011·广东六校联考)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.[答案]256[解析](x－a)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8·x8－r·(－a)r＝(－1)rCr8·ar·x8－r，令8－r＝5，则r＝3，于是a5＝(－1)3C38·a3＝56，解得a＝－1，即(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝256.9．若x2＋1ax6的二项展开式中，x3的系数为52，则二项式系数最大的项为________．[答案]52x3[解析]∵Tr＋1＝Cr6(x2)6－r1axr＝Cr6a－rx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C36a－3＝52，解得a＝2.故二项式系数最大的项为T4＝C36(x2)3(12x)3＝52x3.10．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(x＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.[答案]3[解析]由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.11.已知xy0，且x＋y＝1，而(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，那么x的取值范围是()A.－∞，15B.45，＋∞C．(1，＋∞)D.－∞，－45[答案]B由79教育网提供资源全部免费[解析]由题设条件知，C19x8y≤C29x7y2，∵xy0，∴x≥4y，∵x＋y＝1，∴x≥4(1－x)，∴x≥45.12．(2011·新课标全国理，8)(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40[答案]D[解析]因(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数和为2，即令x＝1时，(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.∵(2x－1x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5·(2x)5－r·(－1x)r＝(－1)r·25－r·Cr5·x5－2r，当5－2r＝－1或1时r＝3或2，此时展开式为常数项，∴展开式的常数项为(－1)3·25－3·C35＋(－1)2·25－2·C25＝40.13．(2011·安徽宣城模拟)在(x－2)5(2＋y)4的展开式中x3y2的系数为________．[答案]480[解析](x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5x5－r(－2)r，令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C25(－2)2＝40；(2＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr4(2)4－ryr，令r＝2得y2的系数C24(2)2＝12，于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.14．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．[答案]－15[解析]从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即－5x4－4x4－3x4－2x4－x4，所以x4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.15．(2011·安徽理，12)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.[答案]0[解析]a10＝C1021(－1)11＝－C1021，a11＝C1121(－1)10＝C1021，所以a10＋a11＝C1121－C1021＝C1021－C1021＝0.16．已知数列{an}满足an＝n·2n－1(n∈N*)，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1C1n＋b2C2n＋b3C3n＋…＋bnCnn对一切正整数n成立？并证明你的结论．[解析]假设等差数列{bn}使等式n·2n－1＝b1C1n＋b2C2n＋b3C3n＋…＋bnCnn对一切正整数n成立，由79教育网＝1时，得1＝b1C11，∴b1＝1，当n＝2时，得4＝b1C12＋b2C22，∴b2＝2，当n＝3时，得12＝b1C13＋b2C23＋b3C33，∴b3＝3，可猜想bn＝n时，n·2n－1＝C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn.∵kCkn＝k·n！k！n－k！＝n·n－！k－！n－k！＝nCk－1n－1.∴C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n(C0n－1＋C1n－1＋…＋Cn－1n－1)＝n·2n－1.故存在等差数列{bn}(bn＝n)，使已知等式对一切n∈N*成立．1．(2010·浙江嘉兴质检)若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a1的值为()A．80B．40C．20D．10[答案]A[解析]由于x＋1＝x－1＋2，因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展开式中x－1的系数为C4524＝80.2．(2011·辽宁沈阳质检)若(3x－1x)n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为()A．－5B．5C．－405D．405[答案]C[解析]令x＝1得2n＝32，所以n＝5，于是(3x－1x)5展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr5(3x)5－r(1x)r＝(－1)rCr535－rx5－2r，令5－2r＝3，得r＝1，于是展开式中含x3的项的系数为(－1)1C1534＝－405，故选C.3．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]A由79教育网提供资源全部免费[解析]依题意，令x＋2＝1，等式右边为a0＋a1＋a2＋…＋a11.把x＝－1代入等式左边，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.4．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________.[答案]5[解析]法1：令x＝－2得a0＝－1.令x＝0得27＝a0＋2a1＋4a2＋8a3.因此a1＋2a2＋4a3＝14.∵C03(2x)3·30＝a3·x3.∴a3＝8.∴a1＋2a2＋3a3＝14－a3＝6.∴a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6＝5.法2：由于2x＋3＝2(x＋2)－1，故(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3＝8(x＋2)3－4C13(x＋2)2＋2C23(x＋2)－1，故a3＝8，a2＝－12，a1＝6，a0＝－1.故a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6－24＋24＝5.5．(2010·重庆中学)已知x2＋ax6展开式中x6项的系数为60，其中a是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________．[答案]1[解析]x2＋ax6展开式中的第r＋1项Tr＋1＝Cr6(x2)6－r·axr＝arCr6x12－3r，令12－3r＝6得，r＝2，∴a2C26＝60，∴a2＝4.∵a0，∴a＝－2，令x＝1得展开式各项系数之和为1＋－216＝1.6．(2010·聊城市模拟)将1－1x2n(n∈N*)的展开式中x－4的系数记为an，则1a2＋1a3＋…＋1a2010＝________.[答案]20091005[解析]第r＋1项Tr＋1＝Crn·－1x2r＝(－1)rCrnx－2r，令－2r＝－4，∴r＝2，∴an＝(－1)2C2n＝nn－2，由79教育网提供资源全部免费∴1a2＋1a3＋…＋1a2010＝21×2＋22×3＋…＋22009×2010＝2×1－12＋12－13＋…＋12009－12010＝2×1－12010＝20091005.