2013年高考数学总复习3-4定积分与微积分基本定理(理)但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习3-4定积分与微积分基本定理(理)但因为测试新人教B版1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝01(x2－x)dxB．S＝01(x－x2)dxC．S＝01(y2－y)dyD．S＝01(y－y)dy[答案]B[分析]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝01(x－x2)dx.2．(2010·辽宁锦州模拟)如图，阴影部分面积等于()A．23B．2－3C.323D.353[答案]C[解析]图中阴影部分面积为3．(2010·山东烟台模拟)024－x2dx＝()A．4πB．2πC．πD.π2[答案]C[解析]令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4．已知函数y＝x2与y＝kx(k0)的图象所围成的封闭区域的面积为92，则k等于()A．2B．1C．3D．4[答案]C[解析]由y＝x2y＝kx消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则所求区域的面积为0k(kx－x2)dx＝(12kx2－13x3)|k0＝92.即12k3－13k3＝92，解得k＝3.故选C.5．(2011·汕头模拟)设f(x)＝x2x∈[0，1]2－xx∈，2]，则02f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在[答案]C[解析]02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx6．()A．0B.π4C．2D．－2[答案]D[解析]7．(2010·惠州模拟)02(2－|1－x|)dx＝________.[答案]3[解析]∵y＝1＋x0≤x≤13－x1x≤2，∴02(2－|1－x|)dx＝01(1＋x)dx＋12(3－x)dx＝(x＋12x2)|10＋(3x－12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若成立，则a＝________.[答案]－1或13[解析]∵＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4，∴a＝－1或13.9．已知则二项式(ax－1x)6的展开式中含x2项的系数是________．[答案]－192[解析]由已知得＝(－cosx＋sinx)＝(sinπ2－cosπ2)－(sin0－cos0)＝2，(2x－1x)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×Cr6×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB的中点P的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设ab，则直线AB的方程为y－a2＝b2－a2b－a(x－a)，即y＝(a＋b)x－ab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝ab[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(a＋b2x2－abx－x33)|ba＝16(b－a)3，∴16(b－a)3＝43，解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，其中x＝a＋b2y＝a2＋b22，将b－a＝2代入得x＝a＋1y＝a2＋2a＋2，消去a得y＝x2＋1.∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.11.(2010·福建莆田市质检)如图，D是边长为4的正方形区域，E是区域D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，向区域D中随机投一点，则该点落入区域E中的概率为()A.15B.14C.13D.12[答案]C[解析]阴影部分面积S＝202x2dx＝2×13x3|20＝163，又正方形面积S′＝42＝16，∴所求概率P＝SS′＝13.12．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为()A.13B.23C.12D.34[答案]A[解析]方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝01b2db1×1＝13.13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组y2＝2xy＝4－x解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝y22、x＝4－y∴S＝2－4[(4－y)－y22]dy＝(4y－y22－y36)|2－4＝18.14．(2011·潍坊模拟)抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．[答案]23[解析]∵y′＝－2x＋4，∴在点A(1,0)处切线斜率k1＝2，方程为y＝2(x－1)，在点B(3,0)处切线斜率k2＝－2，方程为y＝－2(x－3)．由y＝x－y＝－x－得x＝2y＝2，故所求面积S＝12[(2x－2)－(－x2＋4x－3)]dx＋23[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝(13x3－x2＋x)|21＋(13x3－3x2＋9x)|32＝13＋13＝23.15．求下列定积分．[解析]16.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a0)．∴S阴影＝a0[0－(－x3＋ax2)]dx＝(14x4－13ax3)|0a＝112a4＝112，∵a0，∴a＝－1.1．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2πB．3πC.3π2D．π[答案]A[解析]如右图，S＝∫2π0(1－cosx)dx＝(x－sinx)|2π0＝2π.[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为π6，π，则对称性就无能为力了．2．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是()A.16＋π2B．πC．1D．0[答案]B[解析]3．(2010·广东佛山顺德区质检)对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则2⊗0πsinxdx＝________.[答案]22[解析]∵0πsinxdx＝－cosx|π0＝22，∴2⊗0πsinxdx＝2⊗2＝2－12＝22.