2013年高考数学总复习7-1不等式的性质及解法新人教B版

2013年高考数学总复习7-1不等式的性质及解法新人教B版1.(2011·马鞍山二中月考)设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b2；③a＋b－2；④ab1；⑤logab0，其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A．②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．②⑤[答案]B[解析]①a＋b＝2可能有a＝b＝1；②a＋b2时，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2矛盾；③a＋b－2可能a0，b0；④ab1，可能a0，b0；⑤logab0，∴0a1，b1或a1,0b1，故②⑤能推出．2．(文)(2011·湖北八校联考)若ab0，则下列不等式中不一定成立的是()A.1a1bB.1a－b1bC.－a－bD.|a|－b[答案]B[解析]取a＝－2，b＝－1，逐一检验即可知选B.(理)(2011·辽宁六校模考)若ab，则下列不等式正确的是()A.1a1bB．a3b3C．a2b2D．a|b|[答案]B[解析]若a＝1，b＝－3，则1a1b，a2b2，a|b|，知A、C、D错误；对于函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0，故函数f(x)＝x3为增函数，若ab，则a3b3，故选B.3．(2011·重庆二诊)设0ba1，则下列不等式成立的是()A．abb21B.12(12)a(12)bC．a2ab1D．log12blog12a0[答案]B[解析]依题意得ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，因此A不正确；同理可知C不正确；由函数y＝(12)x在R上是减函数得，当0ba1时，有(12)0(12)b(12)a(12)1，即12(12)a(12)b，因此B正确；同理可知D不正确．综上所述，选B.[点评]可取特值a＝12，b＝14检验．4．(文)(2011·青岛模拟)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[－12，－13]，则不等式x2－bx－a0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C．(13，12)D．(－∞，13)∪(12，＋∞)[答案]A[解析]由题意知－12、－13是方程ax2－bx－1＝0的根，由韦达定理得，－12＋(－13)＝ba，－12×(－13)＝－1a.∴a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a0即为x2－5x＋60，∴2x3.(理)(2010·山东肥城联考)关于x的不等式x2－ax－20a20任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是()A．2B．1C．0D．－1[答案]C[解析]方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a20任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故选C.5．(文)(2011·湘潭月考)不等式4x－2≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2,4)B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)[答案]B[解析]①当x－20，即x2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－20，即x2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x2.[点评]去分母解不等式必须先考虑分母的符号．(理)若关于x的不等式(m－1)x4x－x2的解集为{x|0x2}，则实数m的值是()A.12B．1C．2D．0[答案]C[解析]在同一平面直角坐标系中画出函数y＝4x－x2和y＝(m－1)x的图象，结合题意及图象可知，函数y＝(m－1)x的图象必经过点(2,2)，即有2(m－1)＝2，求得m＝2.故选C.6．(文)(2011·泉州质检)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定[答案]B[解析]由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)0，故MN，选B.(理)已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M、N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定[答案]B[解析]∵0a1b，∴ab1，a0，b0，∴M－N＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝－＋＋＋－＋＋＝－a＋＋0，∴MN.7．(文)不等式|x－1x＋2|x－1x＋2的解集为A，不等式|log2x|2的解集为B，则A∩B＝________.[答案]{x|14x1}[解析]∵|x－1x＋2|x－1x＋2，∴x－1x＋20，∴－2x1，∵|log2x|2，∴－2log2x2，∴14x4，∴A∩B＝{x|14x1}．(理)(2010·湖北黄冈)若规定abcd＝|ad－bc|，则不等式log2111x0的解集为________．[答案](0,1)∪(1,2)[解析]据题意111x＝|x－1|，∴不等式log2111x0化为log2|x－1|0，∴0|x－1|1，∴1x2或0x1.8．(2011·海淀抽检)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．[答案](－∞，0][解析]∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0，∴a∈(－∞，0]．9．(文)已知f(x)＝10，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．[答案](－∞，1][解析]原不等式化为①2x≤2x≥0或②x≤2，x0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．(理)(2010·江西联考)已知符号函数sgnx＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，则不等式(x＋1)sgnx2的解集是________．[答案]{x|x1或x－3}[解析]当x0时，x＋12，所以x1；当x＝0时，无解；当x0时，－x－12，所以x－3，综上可知原不等式的解集是{x|x1或x－3}．10．已知关于x的不等式x＋2m1＋x－5m2(1)解这个不等式；(2)当此不等式的解集为{x|x5}时，求实数m的值．[解析](1)原不等式可化为(m－1)xm2－2m－5①若m1且m≠0，则不等式的解为xm2－2m－5m－1；②若m1，则不等式的解为xm2－2m－5m－1；③若m＝1，则不等式的解为x∈R.(2)如果原不等式的解为x5，则m1m2－2m－5m－1＝5∴m＝7即原不等式解集为{x|x5}时，m的值为7.11.(文)(2011·四川成都期末)已知ab0，且ab＝1，设c＝2a＋b，P＝logca，N＝logcb，M＝logcab，则有()A．PMNB．MPNC．NPMD．PNM[答案]A[解析]因为ab0，且ab＝1，所以a1,0b1，a＋b2ab＝2，c＝2a＋b1，所以logcalogcablogcb，即PMN，选A.(理)(2011·山东临沂模拟)已知0ab，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是()A．log2a0B．2a－b12C．2ba＋ab12D．log2a＋log2b－2[答案]D[解析]当a＝14，b＝34时A不成立；对B有2a－b12⇒2a－b2－1⇒a－b－1，又a＋b＝1，可得a0，与a0矛盾；对C有2ba＋ab12⇒2ba＋ab2－1⇒ba＋ab－1，与ba＋ab2(∵a≠b，且a0，b0)矛盾，故选D.12．(2011·海南三亚联考)已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋10，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()A．m≥1B．m≤－1C．m≤－1或m≥1D．－1≤m≤1[答案]A[解析]∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x∈R，mx2＋2≤2为假，得∀x∈R，mx2＋20，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋10为假，得∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1，故选A.13．(文)(2011·东营模拟)已知x∈R，A＝(x＋3)(x＋7)，B＝x2＋9x＋20，则A、B的大小关系为()A．ABB．A＝BC．ABD．与x有关[答案]D[解析]A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x2＋9x＋20)＝x－1，当x1时AB，当x＝1时A＝B，当x1时AB，故选D.(理)(2011·吉林联考)已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()A．c≥baB．ac≥bC．cbaD．acb[答案]A[解析]解法1：特值法：令a＝0，则b＝1，c＝5，∴cba，排除B、D；令c＝b，则a＝2，∴b＝c＝5，也满足ba，排除C，选A.解法2：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∵1＋a2－a＝a－122＋340，∴1＋a2a，∴ba，∴c≥ba.14．(2011·珠海模拟)已知ba0，xy0，求证：xx＋ayy＋b.[解析]∵xy0，∴01x1y，∵ba0，∴0axby，∴11＋ax1＋by，即1x＋axy＋by，∴xx＋ayy＋b.15．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝－0.4x2＋4.2x－，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．(1)要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？[解析]依题意，G(x)＝x＋2设利润函数为f(x)，则f(x)＝－0.4x2＋3.2x－，8.2－(1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.80即x2－8x＋70，得1x7，∴1x≤5.当x5时，解不等式8.2－x0，得x8.2，∴5x8.2综上所述，要使工厂赢利，x应满足1x8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6故当x＝4时，f(x)有最大值3.6而当x5时，f(x)8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．*16.(文)(2011·北京海淀区诊断)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．[解析](1)因为f′(x)＝(ax＋a－1)ex，所以当a＝1时，f′(x)＝xex，令f′(x)＝0，则x＝0，所以f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1.(2)因为f′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，所以f′(x)≥0对x∈(0,1)恒成立．又ex0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要成立，即a－1≥02a－1≥0，解得a≥1.解法二：要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，因为x0，所以a≥1x＋