2015年湖南高考数学理科卷带详解

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.(15湖南高考)已知2(1i)1iz（i为虚数单位），则复数z=（）A.1iB.1iC.1iD.1i【参考答案】D【测量目标】复数的计算.【试题分析】由题意得，2(1i)2i1i1i1iz，故选D.2.(15湖南高考)设A,B是两个集合，则”ABA”是“AB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】C【测量目标】集合的关系.【试题分析】由题意得，ABAAB，反之，ABABA，故为充要条件，选C.3.(15湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入3n，则输出的S()A.67B.37C.89D.49第3题图【测量目标】程序框图、裂项相消法求数列的和.【参考答案】B【试题分析】由题意得，输出的S为数列1(21)(21)nn的前三项和，而1111()(21)(21)22121nnnn，3113(1)221217nnSSnn，故选B.4.(15湖南高考)若变量,xy满足约束条件1211xyxyy≥≤≤，则3zxy的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【参考答案】A【测量目标】线性规划.【试题分析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x，1y时，3zxy的最小值是7，故选A.第4题图5.(15湖南高考)设函数()ln(1)ln(1)fxxx，则()fx是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数【参考答案】A【测量目标】函数的性质.【试题分析】显然，()fx定义域为(1,1)，关于原点对称，又()ln(1)ln(1)()fxxxfx，()fx为奇函数，显然，()fx在(0,1)上单调递增，故选A.6.(15湖南高考)已知5axx的展开式中含32x的项的系数为30，则a（）A.3B.3C.6D.-6【参考答案】D【测量目标】二项式定理.【试题分析】5215C(1)rrrrrTax，令1r，可得5306aa，故选D.7.(15湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386B.2718C.3413D.4772第7题图【参考答案】C【测量目标】正态分布.【试题分析】根据正态分布的性质，1(01=12PxPx＜＜）（-1＜＜）0.34，故选C.8.(15湖南高考)已知点A,B,C在圆221xy上运动，且ABBC.若点P的坐标为（2,0），则PAPBPC的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【测量目标】圆的性质、平面向量数量积.【参考答案】B【试题分析】由题意得，AC为圆的直径，故可设(,),(,),(,),(6,),AmnCmnBxyPAPBPCxy而22(6)371249xyxPAPBPC≤，的最大值为7，故选B.9.(15湖南高考)将函数()sin2fxx的图象向右平移π(0)2＜＜个单位后得到函数()gx的图象，若对满足12()()2fxgx的12,xx，有12minπ3xx，则（）A.5π12B.π3C.π4D.π6【参考答案】D【测量目标】三角函数的图象和性质.【试题分析】向右平移个单位后，得到()sin(22)gxx，又12()()2fxgx，不妨令1212πππ22π,222π,()π222xkxnxxkn，又12minπ3xx，πππ236，故选D.10.(15湖南高考)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89πB.169πC.34(21)πD.312(21)π第10题图【测量目标】圆锥的内接长方体和基本不等式求最值.【参考答案】A【试题分析】分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体的长，宽，高分别为x，y，h，长方体上底面截圆锥的截面半径为a，则2222(2)4xyaa，如下图所示，则可知22212ahha，而长方体的体积22223221622(22)2()2327xyaaaVxyhhahaa≤≤，当且仅当xy，2223aaa时，等号成立，此时利用率为21682719ππ123，故选A.第10题图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.(15湖南高考)20(1)dxx.【参考答案】0【测量目标】定积分的计算.【试题分析】222001(1)()02xdxxx.12.(15湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.第12题图【参考答案】4【测量目标】系统抽样；茎叶图.【试题分析】由茎叶图可知，在区间139,151的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为720435人.13.(15湖南高考)设F是双曲线C：22221xyab的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.【参考答案】5【试题分析】根据对称性，不妨设(,0)Fc，短轴端点为(0,)b，从而可知点(,2)cb在双曲线上，2222415cbceaba.14.(15湖南高考)设nS为等比数列na的前n项和，若11a，且1233,2,SSS成等差数列，则na.【测量目标】等差数列与等比数列的性质.【参考答案】13n【试题分析】1233,2,SSS成等差数列，1211233222()333aaaaaaaaq，又等比数列,na1113nnnaaq.15.(15湖南高考)已知32,(),xxafxxxa≤＞，若存在实数b，使函数()()gxfxb有两个零点，则a的取值范围是.【参考答案】(,0)(1,)【测量目标】函数与方程；分类讨论的数学思想.【试题分析】分析题意可知，问题等价于方程3()xbxa≤与方程2()xbxa＞的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组13bababa≤＞≤有解，从而1a＞；若方程3()xbxa≤无解，方程2()xbxa＞有2个根：则可知关于b的不等式组13baba＞＞有解，从而0a＜，综上，实数a的取值范围是(,0)(1,).三、解答题16.(Ι)(15湖南高考)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）°180MENNOM∠∠；（2）FEFNFMFO.第16题图【测量目标】（1）垂径定理和四点共圆；（2）割线定理.【试题分析】（1）如图所示，因为分别M，N是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即°90OME∠，°90ENO∠，°180OMEENO∠∠又四边形的内角和等于°360，故°180MENNOM∠∠；（2）由（1）知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO.第18题图（Ⅱ）(15湖南高考)已知直线352:132xtlyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求MAMB的值.【测量目标】(1)极坐标与直角坐标的互相转化；(2)直线与圆的位置关系.【试题分析】（1）2cos等价于22cos①，将222=xy，cosx代入①，即得曲线C的直角坐标方程为2220xyx②；（2）352132xtyt将代入②，得253180tt，设这个方程的两个实数根分别为1t，2t，则由参数t的几何意义即知，1218MAMBtt.（Ⅲ）(15湖南高考)设0a＞，0b＞，且11abab.（1）2ab≥；（2）22aa＜与22bb＜不可能同时成立.【测量目标】(1)基本不等式；(2)一元二次不等式,反证法.【试题分析】（1）由基本不等式及1ab，有22abab≥，即2ab≥；（2）假设22aa＜与22bb＜同时成立，则由22aa＜及0a＞得01a＜＜，同理01b＜＜，从而1ab＜，这与1ab矛盾，故22aa＜与22bb＜不可能同时成立.17.(15湖南高考)设ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA，且B为钝角.（1）证明：π2BA；（2）求sinsinAC的取值范围.【测量目标】(1)正弦定理；(2)三角恒等变形；三角函数的性质.【试题分析】（1）由tanabA及正弦定理，得sinsincoscosAbBAaB,所以sincosBA，即πsinsin()2BA.又B为钝角，因此ππ(,π)22A，故π2BA，即π2BA；（2）由（I）知，πππ(2)2022CAA＞，所以π(0)4A，，于是2219sinsinsinsin(2)sincos22sinsin12(sin)248ACAAAAAAA，因为π04A＜＜，所以20sin2A＜＜，因此221992(sin)2488A＜≤由此可知sinsinAC的取值范围是2928，18.(15湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.【测量目标】(1)概率的加法公式；(2)离散型随机变量的概率分布与期望.【试题分析】（1）记事件1A=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B=｛顾客抽奖1次获一等奖｝2B=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝.由题意，1A与2A相互独立，12AA与12AA互斥，1B与2B互斥，且1B=12AA，2B=12AA+12AA，C=1B+2B.因124251()()105102PAPA，，所以11212211()()()()525PBPAAPAPA，2121212121212()()()()()(1())(1())()PBPAAAAPAAPAAPAPAPAPA21211(1)(1)52522，故所求概率为1212117()()()()5210PCPBBPBPB；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以1~(3)5XB，.于是00331464(0)C()()55125PX，11231448(1)C()()55125PX，22131412(2)C()()55125PX，3303141(3)C()(