2013成都初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题

12013成都初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题满分120分，考试时间120分钟一，填空题（每题4分，共64分）1，如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=1/3AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为100平方厘米，那么，△GEF的面积为（）平方厘米。2，设一列数a1，a2，a3，…，a2010中任意三个相邻数之和都是35，已知a3=2x，a20=15，a99=3-x，那么a2011=（）。3，某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租汽车开出后，经过最少（）分钟，车站不能正点发车。4，汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷听距离是（）米．5，有一个正方体，A，B，C的对面分别是x，y，z三个字母，如图所示，将这个正方体从现有位置依此翻到第1，2，…，12格，这时顶上的字母是（）。6，大于1000的某数，若加上79成为一个整数的平方；若加上204，又得到另一个整数的平方，则原来这个数为（）。7，如图，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度是（）。28，已知由小到大的10个正整数a1，a2，a3，…，a10的和是2000，那么a5的最大值是（），这时a10的值应是（）。9，一辆自行车，前胎行驶5000km就不能继续使用，后胎行驶3000km就不能继续使用，若在行驶中合理交换前后胎，则最多可以行驶（）km。10，父亲和儿子在一个圆形溜冰场内滑冰．在两人同方向滑行时，父亲时不时地能追上儿子，而在作反方向滑行时，他俩的相会次数更为频繁，并达到了原来的5倍．那么父亲的滑冰速度是儿子的（）倍．11，在1，3，5，7，…，199这100个自然数中取出若干个数，使得在所取出的数中，任何一个数都不是另一个数的整数倍，这样的数最多能取出（)个．12,若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC=().13,如图，正方形的网格中，∠1+∠2=().14,已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，则这样的三角形共有(）个．15，如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（）。16,试写出5个自然数，使得其中任意两个数中较大的一个数可以被这两个数的差整除．().二，选择题（每题4分，共24分）17，小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）。AB3CD18，轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（）。A．增多B．减少C．不变D．增多、减少都有可能19，已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A．6B．7C．5D．920，使方程3x+2y=200成立的正整数对（x，y）有（）A．66个B．33个C．30个D．18个21，三元一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（）。A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个22,如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为().A．4B．6C．8D．10三，应用题（每题8分，共32分）23，从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．（详细过程才给分）424，以[x]表示不超过x的最大整数。记A=[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有的正整数中，有些数是A取不到的，把所有A取不到的正整数从小到大排起来，第30个数是多少？25，完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍，求证：x=(p+q+2)/(pq-1)26,如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为多少？5一，填空题1,52,18,解：∵任意三个相邻数之和都是35，∴a1+a2+a3=a2+a3+a4=35，a2+a3+a4=a3+a4+a5=35，a3+a4+a5=a4+a5+a6=35，∴a1=a4，a2=a5，a3=a6，∴a1=a3n+1，a2=a3n+2，a3=a3n，∵20=3×6+2，a20=15，∴a20=a2=15；∵99=3×33∴a99=a3，∵a3=2x，a99=3-x，∴3-x=2x，∴x=1，∴a3=2，∵a1+a2+a3=35，∴a1=35-15-2=18，∵2011=670×3+1，∴a2011=a1=18．故答案为18．3,解：∵站内原有的6辆车全部开出用时为4×（6-1）=20分钟．此时站内又有出租车（20-2）÷6+1=4（辆）设再经过x分钟站内无车．x/6+4=x/4x=4848+20=68（分钟）答：经过至少68分钟站内无车．就不能正点发车．4,解：由题意声音走的路程为4×340=1360（米），车的速度为72000/3600=20米/秒，∴车走路程为72000/3600×4=80（米），则2（听到回响时汽车离山谷听距离）=声音走的路程-车行路程=1360-80=1280（米），因为声音是来回所以单程为1280÷2=640（米），故答案填：640．5，解：由图可得，小正方体从图1的位置依次翻到第12格时，“A”在下面，∵A，B，C的对面分别是x，y，z三个字母，则这时小正方体朝上面的字母是“x”．故答案为：x．6，解：∵204-79=125，若两整数分别为a，a+1，则（a+1）2-a2=125，2a+1=125，a=62，若两整数分别为a，a+2，则（a+2）2-a2=125，4a+4=125，a不是整数，舍去，若两整数分别为a，a+3，则（a+3）2-a2=125，6a+9=125，a=19，a2＜1000，对于a，a+n（n＞3），得到的a更小，更不符合大于1000，∴a=62，a2=3844，3844-79=3765．这个数是3765．故答案为：3765．67，解：根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=29，即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=29，3AB+CD=29，∵图中所有线段的长度都是正整数，∴当CD=1时，AB不是整数，当CD=2时，AB=9，当CD=3时，AB不是整数，当CD=4时，AB不是整数，当CD=5时，AB=8，…当CD=8时，AB=7，又∵AB＞CD，∴AB只有为9或8．故答案为：9或8．8，解：设a1，a2，a3，a4为1，2，3，4，∴a5+a6+a7…+a10=2000-（1+2+3+4）=1990，∵a6≥a5+1；a7≥a5+2；a8≥a5+3；a9≥a5+4；a10≥a5+5；∴a5+a6+a7…+a10≥6a5+15，∴6a5+15≤1990，解得a5≤32916，∴a5最大能取329，那么可得a5，a6，a7，a8，a9，只能分别取330，331，332，333，那么a10只能取335．故答案为329；335．9，解：每行驶1km前后胎的损耗度分别为1/5000，1/3000，行驶xkm后交换，继续行驶ykm报废．x/5000+y/3000=1x/3000+y/5000=1，解得x=1875y=1875，∴最多可行驶1875+1875=3750km，故答案为3750．10，解：设儿子的速度是x，父亲的速度是kx，即父亲速度是儿子速度的k倍，设圆形溜冰场一圈的长是s．根据题意得：s/kx-x×5=s/kx+x解得：k=3/2．故答案是：3/2．11，解：由题意可知首先考虑大数至少是另一个小数的3倍时，小数都不可取，因为65×3＜199＜67×3，所以在67前面的数都可以找到它的整数倍，在67～199后面中的某一个数；1、3、5、7、…、65共33个数，因此所取出的数中，任何一个数都不是另一个数的整数倍，这样的数最多能取出100-33=67个．7故答案为67．12，解：∵AB=AC，BG=BH，AK=KG，∴∠ABC=∠ACB，∠G=∠H，∠A=∠G，∴∠A=∠H，∵∠ABC=∠G+∠H=2∠A=∠ACB，∠ACB=∠KCH，∠CKH=∠A+∠G=2∠A，∴∠CKH+∠KCH+∠H=180°，即5∠A=180°，∴∠A=36°．故答案为：36°．13，解：如图，连接BC，∵AM=CN=2，∠AMC=∠CNB=90°，MC=BN=1，∴△AMC≌△CNB（SAS），∴AC=BC，∠1=∠BCN，又∠1+∠ACM=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠ACB=180°-（∠BCN+∠ACM）=90°，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，∴∠1+∠2=90°-∠BAC=45°．故答案为：45°．14，解：若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．∵b＜c，∴b＜c＜a+b，又∵c-b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，∴1＜a≤5，∴a=2，3，4，5．当a=2时，5＜c＜7，此时，c=6；当a=3时，5＜c＜8，此时，c=6，7；当a=4时，5＜c＜9，此时，c=6，7，8；当a=5时，5＜c＜10，此时，c=6，7，8，9；∴一共有1+2+3+4=10个．故答案为：10．15，解：设3n+1=m2，则3n=m2-1=（m+1）（m-1），故m+1，m-1中必有一个是3的倍数，不妨设m-1=3a，则3n=m2-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）•3a，即n=a（3a+2），则n+1=a（3a+2）+1=3a2+2a+1=a2+a2+（a+1）2，故其最小值为3．故答案为：3．816，解：1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（答案不唯一）．以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2，3，4为满足要求的三个数；第二步：设a，a+2，a+3，a+4为满足条件的四个数，则a可被2，3，4整除，取a=12，得满足条件的四个数为12，14，15，16；第三步：设b，b+12，b+14，b+15，b+16为满足条件的五个数，取12，14，15，16的最小公倍数为b，即b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696．二，选择题17，解：根据父亲离家的距离在这个过程中分为3段，先远后不变最后到家，儿子离家的路程也分为3段．故选C．18，解：设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为t0=sa+v0+sa-v0，设河水速度增大后为v，（v＞v0）则往返一次所用时间为t=sa+v+sa-v．∴t0-t=sa+v0+sa-v0-sa+v-sa-v=s[（1a+v0-1a+v）+（1a-v0-1a-v）]=s[v-v0(a+v0)(a+v)+v0-(a-v0)(a-v)]=s（v-v0）[1(a+v0)(a+v)-1(a-v0)(a-v)]由于v-v0＞0，a+v0＞a-v0，a+v＞a-v所以（a+v0）（a+v）＞（a-v0）（a-v）∴1(a+v0)(a+v)＜1(a-v0)(a