2015年湖北高考数列专题分析

从各地高考数列题看明年湖北数列命题趋势湖北省2014年高考数学文、理卷数列是同一个题，满分12分．笔者所在城市共15683人参加考试，文科第1小题均分3.25分，第2小题均分2.32分，计得分5.57分；理科第1小题均分4.05分，第2小题均分3.59分，计得分8.09分。第1小题考查等差、等比数列的基本概念，求通项公式；第2小题考查等差数列的前n项和公式及一元二次不等式的解法。这题属中档题，难度不大，计算不繁，但得分率不高．试题回放I（2014年湖北卷文科T19、理科T18）已知等差数列}{na满足：21a，且1a，2a，5a成等比数列．（I）求数列}{na的通项公式；（II）记nS为数列}{na的前n项和，是否存在正整数n，使得nS＞80060n？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．解：（I）容易求得：2na或24nan．（II）当2na时，不存在满足题意的n；当24nan时，存在满足意的n，其最小值为41．此题第（I）问失分，主要忽略了公差0d的情况，漏掉了2na；由于第（I）问出错，导致第（II）问的解答不全；有的考生对求和公式不熟，有的考生不会解一元二次不等式．试题回放II（2012年湖北卷文科T20，理科T18）已知等差数列}{na前三项和为3，前三项的积为8．（I）求等差数列}{na的通项公式；（II）若2a，3a，1a成等比数列，求数列{||}na的前n项和．试题回放III（2013年湖北卷文科T19）已知nS是等比数列}{na的前n项和，4S，2S，3S成等差数列，且18432aaa．（I）求数列}{na的通项公式；（II）是否存在正整数n，使得nS≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不集在，说明理由．（2013年湖北卷理科T18）已知等比数列}{na满足：10||32aa，125321aaa．（I）求数列}{na的通项公式；（II）是否存在正整数m,使得121111maaa?若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．新课改三年来，湖北命题方向一直保持稳定，三年的数列第一问，都是由方程组解出首项与公差，再得到通项公式．第二问都是前n项和问题，02年与绝对值知识交汇，03年和04年与不等式交汇。等差、等比数列是高考考查的重点和热点，主要考查学生的双基掌握情况及分析问题、解决问题的能力；数列的基本概念及其性质主要以选择题、填空题为主，有的作为解答题的一问；考查数列的通项公式及求和公式常常与其它知识交汇处命题，与三角、不等式、函数、解析几何等；等差、等比数列求和文科卷一般可用前n项和公式直接求和，理科卷一般需用到错位相减法或裂项相消法求和．下面仅从2014年全国各省（市、区）高考数列题为例，谈高考数列的命题趋势．一、考查等差、等比数列的基本性质1．求基本量问题在等差数列或等比数列中，共有5个基本量：1a、na、n、d(或q)、nS，只要知道了其中的3个，就可以求出其余的2个。求基本量问题主要在选择、填空题中出现．例1．（新课标全国卷II文科T5）等差数列}{na的公差为2，若2a，4a，8a成等比数列，则}{na的前n项和nS（）A．)1(nnB．)1(nnC．2)1(nnD．2)1(nn湖北卷第（I）问已知首项，由等比数列性质，列方程求公差，而此题，已知公差，由等比数列性质列方程求首项，与湖北卷有异曲同工之妙．例2．（大纲全国卷广西文科T8）设等比数列}{na的前n项和为nS．若32S，154S，则6S（）A．31B．32C．63D．64解：方法一由31)1(212qqaS，151)1(414qqaS可解出1a，q，再求6S．方法二由等比数列的性质，2S，24SS，46SS成等比数列，直接可求出6S．显然，方法二比方法一运算量小，方法一要讨论q的取值，方法二规避讨论q的取值．例3．（安徽卷理科T12）数列}{na是等差数列，若11a，33a，55a构成公比为q的等比数列，则q．解：设公差为d，依题意有)54)(1()32(1121daada展开、整理得：0122ad，1d又)1()3()1(131aaqa，1q数列基本量运算问题，多数省市都进行了考查，如福建卷理科T3、天津卷文科T5、江苏卷文科T7等．2．与其它知识交汇命题考查等差、等比数列的基本性质时，常常与其它知识交汇命题．例4．（广东卷T13）（文科）等比数列}{na的各项均为正数，且451aa，则5242322212logloglogloglogaaaaa．（理科）若等比数列}{na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则2021lnlnlnaaa．广东卷文、理科以姊妹题呈现，与对数知识交汇，且由课本习题改编来的．人教版必修5复习参考题P68BT1：等比数列}{na的各项均为正数，且187465aaaa，则1032313logloglogaaa（）A．12B．10C．8D．5log23例5．（陕西卷T16）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（I）若a，b，c成等差数列，证明：)sin(2sinsinCACA；（文科）（II）若a，b，c成等比数列，且ac2，求Bcos的值．（理科）（II）若a，b，c成等比数列，求Bcos的最小值．解：（I）a，b，c成等差数列，cab2，由正弦定理得：CABsinsinsin2，又)sin(sinCAB，即)sin(2sinsinCACA．文（II）a，b，c成等比数列，acb2，又ac2，ab2，4322242cos222222aaaaaacbcaB．理（II）a，b，c成等比数列，acb2，acaccaacbcaB22cos22222≥2122acacac，当ca时，Bcos的最小值为21．陕西卷第二问以姊妹题呈现，与正、余弦定理知识交汇命题．例6．（江西卷文科T13）在等差数列}{na中，71a，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n时，nS取得最大值，则d的取值范围是．解：ndnddnnnSn)27(22)1(72，当8n时，nS取得最大值，0d．又对称轴ddddn21427，5.82145.7dd，解得：871d，综上1(d，)87．这是与不等式交汇命题，还有北京卷理科T12也是与不等式交汇命题．二、求数列的通项公式问题1．已知某些项求通项公式例7．（新课标全国卷I文科T17）已知}{na是递增的等差数列，2a，4a是方程0652xx的根．（1）求}{na的通项公式；（2）略．例8．（福建卷文科T17）在等比数列}{na中，32a，815a．（I）求na；（II）略．已知等差数列、等比数列中的某些项，由其性质列方程，求出首次1a及公差d或公比q，再求通项公式．属容易题，多出现在文科卷，如山东卷文科T19、北京卷文科T15也属此类型．2．已知数列的前n项和求通项公式例9．（江西卷文科T17）已知数列}{na的前n项和232nnSn，Nn．（1）求数列}{na的通项公式；（2）略．给出前n项和的表达式，求数列通项公式，多在文科卷中出现，湖南卷文科T16第（I）小题与江西卷同样的模式呈现．例10．（大纲全国卷广西理科T18）等差数列}{na的前n项和为nS，已知101a，2a为整数，且nS≤4S．（I）求数列}{na的通项公式；（II）略．解：由nS≤4S，得：dS3303≤d640（1）dS10505≤d640（2）由（1）、（2）得：310≤d≤25，又2a为整数，d为整数．3d，)(133)3)(1(10Nnnnan．由前n项和满足的一些关系式，求通项公式多出现在理科试卷，如山东卷理科T19、广东卷理科T19．已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是利用1nnnSSan(≥)2，当1n时，求得的1a与由nS表达式求得的11Sa时，na才是通用公式；否则，要用分段函数来表示．3．由递推关系式求通项公式例11．（大纲全国卷广西文科T17）数列}{na满足11a，22a，2212nnnaaa．（I）略；（II）求}{na的通项公式．解：（II）由已知得：2)()(112nnnnaaaa，}{1nnaa是首项为112aa，公差2d的等差数列．121naann)(Nn，321naann，5221naann，………………112aa，上式相加得：nnnnaan213)52()32(21，222nnan．例12．（重庆理科卷T22）设11a，62221nnnaaa)(Nn．（1）若1b，求2a，3a及数列}{na的通项公式；（2）略．解：（1）1b时，12221nnnaaa，21212122a，121222223a，移项、两边平方化简得：1)1()1(221nnaa，})1{(2na是首项0)1(21a，公差为1的等差数列增，)1()1(2nan，11nan)(Nn．用数列的递推关系式求通项公式，对考生的双基要求较高，要考查学生的灵活变形能力，课标全国卷II理科T17也是此类问题．对于“)(1nfaann”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“)(1nfaann”型递推关系常用“累加法”求通项．还须注意检验1n时，是否适合所求．三、求数列的前n项和问题1．直接用求和公式求和例13（重庆卷文科T16）已知}{na是首项为1，公差为2的等差数列，nS表示}{na的前n项和．（1）求na及nS；（2）设}{nb是首项为2的等比数列，公比q满足0)1(442Sqaq，求}{nb的通项公式及其前n项和nT．解：用等差数列的求和公式求2nSn；用等比数列的求和公式，求)14(32nnT．直接运用等差数列、等比数列前n项和公式求和，主要在文科卷中出现，如北京文科卷T15、福建文科卷T17等。2．错位相减法求和例14．（安徽卷文科T18）数列}{na满足11a，)1()1(1nnannann，)(Nn．（1）证明：数列}{nan是等差数列；（2）设nnnab3，求数列}{nb的前n项和nS．解：（1）略；（2）nnnb3，nnnnnS33)1(323112①，13233)1(32313nnnnnS②，①―②得，1233332nnnnS，433)12(1nnnS．错位相减法求和，在高考试题中常常出现，如课标全国卷I文科T17第（2）问、江西卷理科T17第（2）问、四川卷文、理科T19第II问均属错位相减法求前n项和问题，错位相减法求和因为有等比数列求和公式的推导做基础，故这类求和问题，思维要求不高，学生能够动手做，但计算量较大，常常在计算时出现错误．在写出“nS”与“nqS”的表达式时，要特别注意归纳式“错项对齐”，以便下一步准确写出“nnqSS”的表达式．3．裂项相消法求和例15．（大纲全国卷广西理科T18）（II）设11nnnaab，求数列}{nb的前n项和nT．解：（II）)10311331(31)103)(133(1nnnnbn)103113311141417171101(31nnnnn30100)1031101(31．例16．（山东卷理科T19）（II）令114)1(nnnnaanb，求数列}{nb的前n项和nT．解：（II）)12112