2013泛函分析文理试题填空题

填空题（每空２分，共１００分）1设X是一个集合，若对于X中任意两个元素yx,，都有唯一确定的实数),(yxd与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)___________________.(2)_______________(3)_______________则称(,)dxy是x与y的距离，称(,)Xd为度量空间.2设),(dXX是度量空间，nx是X中点列，如果______________，则称nx是X中的科西点列.如果度量空间dX,中______________，则称dX,是的完备的度量空间.3设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果________________,则称T是压缩映射.若T是完备度量空间X上的压缩映射，则T____________.4设X是实或复的线性空间，如果对每个向量x，有一个确定的实数，记为x与之对应，并且满足(1)__________________;(2)________________;(3)________________,则称x为向量x的范数，称X按范数x成为赋范线性空间.设nx是X中的点列，如果存在Xx，使__________，则称nx依范数收敛于x.赋范线性空间X中任意两点yx,之间的距离定义为_________.5解释下列集合，并在其上定义范数，使之成为赋范线性空间（例，nR=122121{(,,,)|},(||)nniiixxxxxRxx）(1)[,]Cab_______________________,___________________(2)1p，pl____________________,____________________6设X和Y是两个同为（实或复）的线性空间，T是X到Y中的映射，如果对任何Xyx,和数，有(1)_____________________;(2)__________________，则称T为X到Y中的线性算子.7设X和Y是两个赋范线性空间，T是X的线性子空间)(TD到Y中的线性算子，如果_____________________，则称T为)(TD到Y中的有界线性算子.其范数定义为__________.且T的范数还可以表示为＿＿＿＿＿＿．设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T是有界算子的充要条件为T是X上的＿＿＿＿＿＿算子．8赋范线性空间X的共轭空间X指的是__________________.任何附范线性空间的共轭空间都是____________.)(1l__________，)1(P)(pl__________.9（Holder不等式）设1p，111pq，[,]pfLab，[,]qgLab，fg那么在[,]ab上_____，并且成立________.（Minkowski不等式）设1p，,[,]pfgLab，那么_______，并且成立不等式_______.10设X是复线性空间，如果对X中任何两个向量yx,有一复数yx,与之对应，并且满足(1)___________，(2)____________(3)____________则称yx,为yx,的内积，X称为内积空间.X是内积空间，Xx，则x的范数定义为_________，22xyxy__________.并且成立下面的施瓦茨不等式_________.11解释下面的集合，并在其上定义内积使之称为内积空间2[,]Lab___________________,________________12设X是内积空间，,xyX,若xy，则,xy_____,且2xy_______.13(投影定理)设Y是Hilbert空间X的闭子空间，那么成立____________.14设{}ne是内积空间X中的可数规范正交系，则xX，21|,|nnxe________2x,且lim,nnxe___________.15(Riesz定理)设X是Hilbert空间，f是X上连续线性泛函，那么____________＿＿，使得对每个xX，有()fx______，且________.16设X和Y是两个Hilbert空间，),(yXBA，*A是A的共轭算子，则YyXx,，yAx,＿＿＿＿＿＿＿．1７设T是Hilbert空间X到X中的有界线性算子，若＿＿＿＿，则称T为X上的自伴算子，若＿＿＿＿＿＿，则称T为X上的正常算子，若＿＿＿＿＿＿＿，则称T为X上的酉算子．