2013版高中全程复习方略数学2.12导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(人教A版数学理)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(十四)(45分钟100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·郑州模拟)函数f(x)＝(x2－1)3＋2的极值点是()(A)x＝1(B)x＝－1(C)x＝1或－1或0(D)x＝02.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()(A)f(0)＋f(2)＜2f(1)(B)f(0)＋f(2)≤2f(1)(C)f(0)＋f(2)≥2f(1)(D)f(0)＋f(2)＞2f(1)3.若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－33，33)，则a的范围是()(A)a0(B)－1a0(C)a1(D)0a14.(2012·温州模拟)设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()(A)(a，b)(B)(a，c)(C)(b，c)(D)(a＋b，c)5.函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间[0，π2]上的值域为()(A)[12，12ex2](B)(12，12e2)(C)[1，e2](D)(1，e2)6.已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)0的解集为()(A)(－∞，12)∪(12，2)(B)(－∞，0)∪(12，2)(C)(－∞，12)∪(12，＋∞)(D)(－∞，12)∪(2，＋∞)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)(2012·长春模拟)已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝.8.已知函数f(x)＝alnx＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是.9.(2012·柳州模拟)直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知函数f(x)＝lnx－ax.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值.11.(2011·福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【探究创新】(16分)某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？答案解析1.【解析】选D.由f′(x)＝3(x2－1)2·2x＝0得x＝0或x＝1或x＝－1，又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴只有x＝0是函数f(x)的极值点.2.【解题指南】分x1和x＜1两种情况讨论单调性.【解析】选C.当x1时，f′(x)≥0，若f′(x)＝0，则f(x)为常数函数，若f′(x)0，则f(x)为增函数，总有f(x)≥f(1).当x1时，f′(x)≤0，若f′(x)＝0，则f(x)为常数函数.若f′(x)0，则f(x)为减函数，总有f(x)≥f(1)，∴f(x)在x＝1处取得最小值.即f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，∴f(0)＋f(2)≥2f(1).3.【解析】选A.∵y′＝a(3x2－1)＝3a(x＋33)(x－33)，∴当－33x33时，(x＋33)(x－33)0.∴要使y′0，必须取a0.4.【解析】选A.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，1－1＝－2b3a，∴b＝0.故点(a，b)一定在x轴上.5.【解析】选A.f′(x)＝12ex(sinx＋cosx)＋12ex(cosx－sinx)＝excosx，当0xπ2时，f′(x)0，∴f(x)是[0，π2]上的增函数.∴f(x)的最大值为f(π2)＝12e2，f(x)的最小值为f(0)＝12.∴f(x)的值域为[12，12e2].6.【解析】选B.由f(x)图象的单调性可得f′(x)在(－∞，12)和(2，＋∞)上大于0，在(12，2)上小于0，∴xf′(x)0的解集为(－∞，0)∪(12，2).7.【解析】∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得f(－1)＝(－1)3＋3m(－1)2＋n(－1)＋m2＝0f′(－1)＝3×(－1)2＋6m(－1)＋n＝0，∴m＝1n＝3或m＝2n＝9，当m＝1n＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾，当m＝2n＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11.答案：11【误区警示】本题易出现求得m，n后不检验的错误.8.【解析】∵f(x)＝alnx＋x，∴f′(x)＝ax＋1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴ax＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞).答案：[－2，＋∞)9.【解析】令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，画出函数图象如图所示，可得－2a2时，恰有三个不同公共点.答案：(－2,2)【方法技巧】图象的应用对于求函数y＝f(x)的零点个数或方程f(x)＝0的根的个数的题目，可以转化为求两个函数的图象的交点的个数，利用导数知识可以研究函数的单调性和极值，从而得到函数的图象，通过观察函数图象得到答案.10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2.a≥0时，f′(x)＞0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，a＜0时，令f′(x)＞0，得x＞－a，∴f(x)的单调增区间为(－a，＋∞).(2)由(1)可知，f′(x)＝x＋ax2，①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝32，∴a＝－32(舍去).②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－ae＝32，∴a＝－e2(舍去).③若－e＜a＜－1，当1＜x＜－a时，f′(x)＜0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数，当－a＜x＜e时，f′(x)＞0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数.∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，∴a＝－e，综上所述，a＝－e.【变式备选】已知函数f(x)＝2x＋alnx－2(a＞0).(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2(a－1)成立，试求实数a的取值范围；(3)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，方程g(x)＝0在区间[e－1，e]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).因为f′(x)＝－2x2＋ax，且知直线y＝x＋2的斜率为1.所以f′(1)＝－212＋a1＝－1，所以a＝1.所以f(x)＝2x＋lnx－2.f′(x)＝x－2x2.由f′(x)＞0，解得x＞2；由f′(x)＜0解得0＜x＜2.所以f(x)的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2).(2)f′(x)＝－2x2＋ax＝ax－2x2.由f′(x)＞0解得x＞2a；由f′(x)＜0，解得0＜x＜2a.所以f(x)在区间(2a，＋∞)上单调递增，在区间(0，2a)上单调递减.所以当x＝2a时，函数f(x)取得最小值，ymin＝f(2a).因为对任意的x∈(0，＋∞)都有f(x)＞2(a－1)成立，所以f(2a)＞2(a－1)即可.则22a＋aln2a－2＞2(a－1)，即aln2a＞a，解得0＜a＜2e.所以a的取值范围是(0，2e).(3)依题意得g(x)＝2x＋lnx＋x－2－b，则g′(x)＝x2＋x－2x2.由g′(x)＞0解得x＞1；由g′(x)＜0解得0＜x＜1.所以函数g(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1，＋∞)上为增函数.又因为方程g(x)＝0在区间[e－1，e]上有两个不同的实根，所以g(e－1)≥0g(e)≥0g(1)＜0.解得1＜b≤2e＋e－1.所以b的取值范围是(1，2e＋e－1].11.【解析】(1)因为x＝5时y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝2；(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润：f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6；从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0得x＝4，函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【探究创新】【解析】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19).(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，∵x0，∴P′(x)＝0时，x＝12，当0x12时，P′(x)0，当x12时，P′(x)0，∴x＝12时，P(x)有极大值，也是最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.