2013版高考数学一轮复习1.2命题及其关系充分条件与必要条件精品学案

用心爱心专心-1-2013版高考数学一轮复习精品学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【高考新动向】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。【考纲全景透析】1、命题定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。2、四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p，则q逆否命题若q，则p（2）四种命题间的相互关系（3）四种命题的真假关系用心爱心专心-2-①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。3、充分条件与必要条件（1）“若p，则q”为真命题，记pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。（2）如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。【热点难点全析】一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。2、例题解析〖例1〗】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______.(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3)在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数(2)若a≤b，则a-1≤b-1(3)1〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；用心爱心专心-3-逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断①若pq，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若qp，则p是q的必要条件；注：ⅰ“q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)．ⅱpqqp，即无q必然无p，可见q对于p来说必不可少。③若pq且qp，p是q的充要条件；④⑤p是q的必要而不充分条件．⑥（2）利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若,AB则p是q的充分条件;若AB，则p是q的充分不必要条件；若,ABpq则是的必要条件；用心爱心专心-4-若BA，则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；若AB，且，则p是q的既不充分也不必要条件。注：p与q之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。2、例题解析〖例1〗(1)设集合A={x∈R|x-20},B={x∈R|x0},C={x∈R|x(x-2)0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(2012·驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)＞0，条件:()2qlg1x1x有意义，则pq是的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解题指导】(1)求出集合C及A∪B，根据两集合的关系判断.(2)化简条件p、q，求出p与q后根据集合间的关系判断.解析：(1)选C.集合C的解集是{x|x0或x2},∵A∪B={x|x0或x2},∴A∪B=C，故选C.(2)选B.由(1-x)(x+1)＞0,得-1＜x＜1，即条件p:-1＜x＜1，则:px1或x≥1.由221x01x01x1x0得-1＜x≤1.即条件q:-1＜x≤1，则:px1或x＞1.pq，但.qp∴p是q，的必要不充分条件，故选B.〖例2〗已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[]A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：利用韦达定理转换．用心爱心专心-5-解析：∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．三、充要条件的证明〖例1〗（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.分析：（1）讨论a的不同取值情况；（2）利用根的判别式求a的取值范围.解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=12,方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,方程只有一个负根。当a0时，Δ=4（1-a）0,方程有两个不相等的根，且1a0,方程有一正一负根。必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。当a=0时，适合条件。当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则Δ=4（1-a）≥0，∴a≤1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则110aa∴a0综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。〖例〗给出下列各组条件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有[]A．1组B．2组C．3组D．4组分析：使用方程理论和不等式性质．解析：(1)p是q的必要条件(2)p是q充要条件用心爱心专心-6-(3)p是q的充分条件(4)p是q的必要条件．选A．说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．【高考零距离】〖例1〗（2012·浙江高考文科·Ｔ4）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解题指南】由两直线平行的充要条件可求出a.【解析】选C.“a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”的充要条件是：由21124a解得a1故“a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件。〖例2〗（2012·湖南高考文科·Ｔ3）命题“若α=p4，则tanα=1”的逆否命题是A.若α≠p4，则tanα≠1B.若α=p4，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠p4D.若tanα≠1，则α=p4【解题指南】由逆否命题的概念知，否定命题的条件“a¹4p”做结论，否定原命题的结论“tanα≠1”做条件。【解析】选C.原命题的逆否命题是“tan1,a¹则4pa¹”，故选C。〖例3〗（2011·江西高考理科·Ｔ8）已知123,,是三个相互平行的平面，平面12,之间的距离为1d，平面23,a之前的距离为2d，直线l与123,,分别相交于123,,PPP.那么“1223PPPP”是“12dd”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【思路点拨】先根据面面平行的性质定理得出，线线平行，再根据平行线分线段成比例这一性质，易得两者之间的关系.【精讲精析】选C.如图所示，由于用心爱心专心-7-231323121122312232//,PPNPM//PN,PPd,PPPPdd.PPd==同时被第三个平面所截，故有再由平行线分线段成比例易得，因此〖例4〗（2011·福建卷理科·Ｔ2）若aR，则“a=2”是“（a-1）（a-2）”=0的()(A).充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C).充要条件(D).既不充分又不必要条件【思路点拨】解决本题的关键是判断“a=2”与“（a-1）（a-2）=0”两者之间满足怎样的推出关系.【精讲精析】选A.由(1)(2)0aa得1a或2a，所以2(1)(2)0aaa而(1)(2)aa=02a，故2a是(1)(2)0aa的充分而不必要条件.〖例5〗（2011·安徽高考理科·Ｔ7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（A）所有不能被2整除的整数都是偶数（B）所有能被2整除的整数都不是偶数（C）存在一个不能被2整除的整数是偶数（D）存在一个不能被2整除的整数不是偶数【思路点拨】此命题为全称命题，全称命题的否定为相应的特称命题.【精讲精析】选D.全称命