2015年高三第一轮复习导数的几何意义

1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的_________，即k＝f′(x0)．函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为_____________________．2．导数的物理意义物体的运动方程s＝s(t)在t＝t0处的导数，就是物体在t0时刻的______________．3.由导数的几何意义，求切线的斜率，即是求切点处所对应的导数．因此，求曲线在某点处的切线方程，可以先求函数在该点的导数，即为曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜式形式，写出切线的方程，其步骤为：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．4．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(垂直于x轴此时导数不存在)时，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．注意：若在点(x0，f(x0))处切线l的倾斜角为π2，此时切线垂直于x轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0.5.导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0求解．题型一.求曲线上某点处的切线方程例1.已知曲线y＝13x3上一点P2，83，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．解(1)∵y＝13x3，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→013x＋Δx3－13x3Δx＝13limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝13limΔx→0(3x2＋3xΔx＋Δx2)＝x2，y′|x＝2＝22＝4.(2)在点P处的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.[说明]求函数f(x)图象上点P处的切线方程的步骤：先求出函数在点(x0，y0)处的导数f′(x0)(即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程．变式.求曲线y＝1x在点12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．[解析]∵y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝limΔx→0－1x2＋xΔx＝－1x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝12＝－4.∴切线方程为y－2＝－4x－12，即4x＋y－4＝0.题型二.求切点坐标例2.在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．[分析]设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直的条件求出切点坐标．[解析]f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·13＝－1，得x0＝－32，y0＝94，即P－32，94.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－12，y0＝14，即P－12，14.变式1.f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A.0B.3C.4D.－73解析：选B∵f(x)＝13x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.3.已知曲线y＝13x3＋43.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．③求曲线过点P(2,4)的切线方程.解①∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.②设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x20＝4，x0＝±2.切点为(2,4)或－2，－43，∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y＋43＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.③设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P2，4在切线上，∴4＝2x20－23x30＋\f(4,3)，即x30－3x20＋4＝0.∴x30＋x20－4x20＋4＝0.∴x20x0＋1－4x0＋1x0－1＝0.∴x0＋1x0－22＝0.解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.题型三.导数的几何意义例3.曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．[解析]令y＝f(x)＝x3，Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx3，ΔyΔx＝Δx2，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数0，这说明割线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在x＝0处的切线存在，此时切线的斜率为0(ΔyΔx无限趋近于0)，又曲线过点(0,0)，故切线方程为y＝0.[说明](1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示．1.已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于()A．2B．4C．6＋6Δx2D．62.求抛物线y＝x2过点52，6的切线方程．1.[解析]∵y＝2x3，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x＋Δx3－2x3Δx＝2limΔx→0Δx3＋3xΔx2＋3x2ΔxΔx＝2limΔx→0(Δx2＋3xΔx＋3x2)＝6x2.∴y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.2.解]设切线过抛物线上的点(x0，x20)，由导数的意义知此切线的斜率为2x0.又因为此切线过点52，6和点(x0，x20)，其斜率应满足x20－6x0－52＝2x0，∴x20－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3.∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y－9＝6(x－3)；化简得：4x－y－4＝0或6x－y－9＝0.1.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交2.下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是()A.(0,0)B.(2,4)C.14，116D.12，143．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是()A.－4B.0C.4D.不存在4.已知曲线y＝12x2－2上一点P1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.165°5.如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A.f′(x0)＞0B.f′(x0)＜0C.f′(x0)＝0D.f′(x0)不存在6.下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线7.曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为()A.y＝2xB.y＝2x－1C.y＝2x＋1D.y＝－2x8.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A.1B.12C.－12D.－19．自由落体运动方程是s(t)＝12gt2，物体在t＝2这一时刻的速度是____________．10．已知曲线y＝13x3＋43，则过点P(2,4)的切线方程是________．11．抛物线y＝x2在点P处的切线平行于直线y＝4x－5，则点P的坐标为________．12．求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线的方程．1.[解析]由导数的几何意义知，f(x)在(x0，f(x0))处切线的斜率k＝f′(x0)＝0.∴切线与x轴平行或重合．2.[解析]f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝limΔx→02x0·Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x0＋Δx)＝2x0.∵切线倾斜角为π4.∴函数在切点x0处的导数值为1.令2x0＝1，x0＝12，∴y＝14.3.[解析]y′|x＝0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(－2Δx)＝0.故选B.4.[解析]∵y＝12x2－2，∴y′＝limΔx→012x＋Δx2－2－12x2－2Δx＝limΔx→0x·Δx＋12Δx2Δx＝limΔx→0x＋12Δx＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点P1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B.5.[解析]切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f′(x0)＝－12＜0.故选B.6.[解析]根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C正确．故选C.7.[解析]∵ΔyΔx＝x＋Δx2－x2Δx＝2x＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝2x，∴y′|x＝1＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.8.[解析]∵y′|x＝1＝limΔx→1a1＋Δx2－a×12Δx＝limΔx→02aΔx＋aΔx2Δx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.9.[解析]ΔsΔt＝12gt＋Δt2－12gt2Δt＝12g·Δt＋gt.limΔt→0＝ΔsΔt＝limΔt→012gΔt＋gt＝gt.∴当t＝2时，速度为2g.10.解∵y′＝x2，点P(2,4)在曲线上，∴过点P(2,4)的切线的斜率为4.∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即y－4x＋4＝0.11.[解析]limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x，令2x＝4，∴x＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y＝4x－5.12.[解析]由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝2x上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx＝limΔx→02－2＋Δx＋1Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.1．已知曲线y＝2ax2＋1过点(a，3)，则该曲线在该点的切线方程是()A．y＝－4x－1B．y＝4x－1C．y＝4x＋8D．y＝4x或y＝4x－42.曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．3B．－3C．9D．15y＝x3＋