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一、选择题1.(文)(2011·重庆文,3)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为()A.y=3x-1B.y=-3x+5C.y=3x+5D.y=2x[答案]A[解析]该题考查导数的几何意义,注意验证点在曲线上.y′=-3x2+6x在(1,2)处的切线的斜率k=-3+6=3,∴切线方程为y-2=3(x-1).即y=3x-1.(理)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1[答案]A[解析]本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义.y′=2x+a,∴y′|x=0=(2x+a)|x=0=a=1,将(0,b)代入切线方程得b=1.2.已知f0(x)=cosx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x)…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N+,则f2013(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[答案]B[解析]f1(x)=-sinx,f2(x)=-cosx,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx,f5(x)=-sinx…,故fn(x)的周期为4,∴f2013(x)=f1(x)=-sinx.3.(文)已知函数f(x)在x=1处的导数为-12,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=12x2-lnxB.f(x)=xexC.f(x)=sinxD.f(x)=1x+x[答案]D[解析]本题考查导数的运算,据导数的运算公式知只有D符合题意.(理)若函数f(x)=exsinx,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为()A.π2B.0C.钝角D.锐角[答案]C[解析]f′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=2exsin(x+π4).f′(4)=2e4sin(4+π4)<0,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为钝角,故选C.4.若函数f(x)=12sin2x+sinx,则f′(x)是()A.仅有最小值的奇函数B.仅有最大值的偶函数C.既有最大值又有最小值的偶函数D.非奇非偶函数[答案]C[解析]f(x)=sinxcosx+sinx,则f′(x)=cosxcosx+sinx·(-sinx)+cosx=cos2x-sin2x+cosx=2cos2x+cosx-1,显然f′(x)是偶函数,又因为cosx∈[-1,1],所以函数f′(x)既有最大值又有最小值.5.(文)(2012·南京金陵中学高三模拟)若曲线y=x-2在点(a,a-2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=()A.64B.32C.16D.8[答案]A[解析]求导,得y′=-12x-2(x0),所以曲线y=x-2在点(a,a-2)处的切线l的斜率k=y′|x=a=-12a-2,由点斜式,得切线l的方程为y-a-12=-12a-2(x-a),易求得直线l与x轴,y轴的截距分别为3a,32a-2,所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S=12×3a×32a-2=94a2=18,解得a=64.(理)(2011·大纲全国卷理,8)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D.1[答案]A[解析]本小题考查的内容是导数的几何意义.y′=(e-2x+1)′=-2·e-2x,令x=0,y′=-2,∴k=-2,∴切线方程为y=-2x+2.如下图,联立y=-2x+2y=x,∴x=23y=23,∴S=12×1×23=13.6.(文)(2012·安徽淮南模拟)若函数f(x)=13x3-f′(-1)x2+x+5,则f′(1)的值为()A.2B.-2C.6D.-6[答案]C[解析]∵f(x)=13x3-f′(-1)x2+x+5,∴f′(x)=x2-2f′(-1)x+1,∴f′(-1)=(-1)2-2f′(-1)(-1)+1,解得f′(-1)=-2.∴f′(x)=x2+4x+1,∴f′(1)=6.(理)设函数f(x)=cos(3x+φ)(-πφ0),若f(x)+f′(x)是偶函数,则φ的值是()A.π3B.π6C.-π3D.-π6[答案]C[解析]f(x)+f′(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=2cos3x+φ+π3,显然当φ=-π3时,f(x)+f′(x)=2cos3x是偶函数.二、填空题7.设直线y=12x+b是曲线y=lnx(x0)的一条切线,则实数b的值为________.[答案]ln2-1[解析]由已知条件可得k=(lnx)′=1x=12,得切点的横坐标x=2,切点坐标为(2,ln2),由点(2,ln2)在切线y=12x+b上可得b=ln2-1.8.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________.[答案](1,e)e[解析]设切点坐标为(x0,ex0),则切线的斜率k=y′|x=x0=ex0.切点与原点连线的斜率k′=ex0x0.∵k=k′,∴ex0=ex0x0.∴x0=1,∴切点为(1,e),k=e.三、解答题9.已知曲线y=13x3+43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.[分析](1)在点P处的切线以点P为切点.(2)过点P的切线,点P不一定是切点,需要设出切点坐标.[解析](1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=13x3+43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0,13x30+43,则切线的斜率k=y′|x=x0=x20.∴切线方程为y-13x30+43=x20(x-x0),即y=x20·x-23x30+43.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x20-23x30+43,即x30-3x20+4=0.∴x30+x20-4x20+4=0.∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0.∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.一、选择题1.(文)(2011·湖南文,7)曲线y=sinxsinx+cosx-12在点M(π4,0)处的切线的斜率为()A.-12B.12C.-22D.22[答案]B[解析]本题考查导数几何意义,求导公式.∵y′=cosxsinx+cosx-sinxcosx-sinxsinx+cosx2=1sinx+cosx2,∴y′|x=π4=12.(理)(2011·湖北理,10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02-t30,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率...是-10ln2(太贝克/年),则M(60)=()A.5太贝克B.75ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克[答案]D[解析]本题考查导数在生活中的应用.M′(t)=-M030ln2·2-t30,∴M′(30)=-M060ln2=-10ln2,∴M0=600,∴M(t)=600·2-t30,∴M(60)=600·2-2=150.2.(文)若点P在曲线y=x3-3x2+(3-3)x+34上移动,经过点P的切线的斜倾角为α,则角α的取值范围是()A.0,π2B.0,π2∪2π3,πC.2π3,πD.0,π2∪π2,2π3[答案]B[解析]y′=3x2-6x+3-3=3(x-1)2-3≥-3∴tanα≥-3α∈(0,π)∴α∈0,π2∪2π3,π,故选B.(理)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)=()A.0B.1002C.200D.100![答案]D[解析]解法1:f′(0)=limΔx→0f0+Δx-f0Δx=limΔx→0ΔxΔx-1Δx-2…Δx-100-0Δx=limΔx→0[(Δx-1)(Δx-2)…(Δx-100)]=(-1)(-2)…(-100)=100!.解法2:∵f′(x)=[x(x-1)(x-2)…(x-100)]′=x′[(x-1)(x-2)…(x-100)]+x[(x-1)(x-2)…(x-100)]′=(x-1)(x-2)…(x-100)+x[(x-1)(x-2)…(x-100)]′,∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)+0=100!.解法3:由多项式展开式的性质知,f(x)=a101x101+a100x100+…+a2x2+a1x+a0,则f′(x)=b100x100+b99x99+…+b1x+a1,∴f′(0)=a1.又a1=(-1)(-2)…(-100)=100!,∴f′(0)=100!.二、填空题3.点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则P到直线y=x-2的距离的最小值是________.[答案]2[解析]作直线y=x-2的平行线使其与曲线y=x2-lnx相切,则切点到直线y=x-2的距离最小.由y′=2x-1x=1,得x=1,或x=-12(舍去).∴切点为(1,1),它到直线x-y-2=0的距离为d=|1-1-2|12+-12=22=2.4.(文)(2012·山东德州模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.[答案](-2,15)[解析]∵y=x3-10x+3,∴y′=3x2-10.由题意,设切点P的横坐标为x0,且x00,3x20-10=2,∴x20=4,∴x0=-2,∴y0=x30-10x0+3=15,∴点P的坐标为(-2,15).(理)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.[答案](-∞,0)[解析]f′(x)=2ax+1x,x∈(0,+∞).∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f′(x)=0有解,即2ax+1x=0有解,∴a=-12x2,∴a∈(-∞,0).三、解答题5.(2011·广州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,求a的值.[解析]设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x30),所以切线方程为y-x30=3x20(x-x0),即y=3x20x-2x30,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32,当x0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切可得a=-2564,当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切可得a=-1,所以a=-1或-2564.6.已知函数f(x)=x3+ax,g(x)=2x2+b,它们的图像在x=1处有相同的切线.(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;(2)如果F(x)=f(x)-mg(x)在区间[12,3]上是单调增函数,求实数m的取值范围.[解析](1)f′(x)=3x2+a,g′(x)=4x,由条件知f1=g1f′1=g′1,∴1+a=2+b3+a=4,∴a=1,b=0,∴f(x)=x3+x,g(x)=2x2.(2)F(x)=f(x)-mg(x)=x3+x-2mx2,∴F′(x)=3x2-4mx+1,若F(x)在区间[12,3]上为增函数,则需F′(x)≥0,即3x2-4mx+1≥0,∴m≤3x2+14x.令h(x)=3x2+14x,x∈[12,3],则h(x)在区间[12,3]上的最小值是h(33)=32,因此,实数m的取值范围是m≤32.7.设曲线y=e-x(x≥0
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