2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-3

1.(文)(2010·四川文)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π20[答案]C[解析]∵向右平移π10个单位，∴用x－π10代替y＝sinx中的x；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x代替y＝sinx－π10中的x，∴得y＝sin12x－π10.(理)(2011·大纲全国卷理，5)设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9[答案]C[解析]由题意知，π3＝2πω·k(k∈Z)，∴ω＝6k，令k＝1，∴ω＝6.2．(文)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为()A．2π，－1B．2π，0C．π，0D．π，1[答案]C[解析]∵f(x)＝sin2x＝1－cos2x2，∴周期T＝2π2＝π，又f(x)＝sin2x≥0，∴最小值为0，故选C.(理)(2011·济南模拟)函数f(x)＝2cos2x－3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为()A．2π，3B．2π，1C．π，3D．π，1[答案]C[解析]由题可知，f(x)＝2cos2x－3sin2x＝cos2x－3sin2x＋1＝2sin(π6－2x)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为3，故选C.3．(2010·衡水市高考模拟)设a＝log12tan70°，b＝log12sin25°，c＝log12cos25°，则它们的大小关系为()A．acbB．bcaC．abcD．bac[答案]A[解析]∵tan70°tan45°＝1cos25°sin25°0，log12x为减函数，∴acb.4．(2011·衡水质检)函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝π4对称，则φ的可能取值是()A.3π4B．－3π4C.π4D.π2[答案]A[解析]∵y＝cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，∴x＋φ＝kπ，即x＝kπ－φ，令π4＝kπ－φ得φ＝kπ－π4(k∈Z)，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A.5．(文)为了使函数y＝sinωx(ω0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是()A．98πB.1972πC.1992πD．100π[答案]B[解析]由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.(理)有一种波，其波形为函数y＝sinπ2x的图象，若在区间[0，t](t0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是()A．3B．4C．5D．6[答案]C[解析]∵y＝sinπ2x的图象在[0，t]上至少有2个波峰，函数y＝sinπ2x的周期T＝4，∴t≥54T＝5，故选C.6．(2010·安徽巢湖质检)函数f(x)＝sinωx－π3(ω0)的最小正周期为π，则函数f(x)的单调递增区间为()A.kπ－π6，kπ＋5π6(k∈Z)B.kπ＋5π6，kπ＋11π6(k∈Z)C.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)D.kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)[答案]C[解析]由条件知，T＝2πω＝π，∴ω＝2，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z得，kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，故选C.7．(2011·福建质检)已知将函数f(x)＝2sinπ3x的图象向左平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度后得到的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则函数g(x)＝________.[答案]2sinπ3x＋2[解析]将f(x)＝2sinπ3x的图象向左平移1个单位长度后得到y＝2sin[π3(x＋1)]的图象，向上平移2个单位长度后得到y＝2sin[π3(x＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝g(x)＝2sin[π3(2－x＋1)]＋2＝2sin(π－π3x)＋2＝2sinπ3x＋2.8．(2011·济南调研)设函数y＝2sin(2x＋π3)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－π2，0]，则x0＝________.[答案]－π6[解析]∵函数y＝2sin(2x＋π3)的对称中心是函数图象与x轴的交点，∴2sin(2x0＋π3)＝0，∵x0∈[－π2，0]∴x0＝－π6.1.(文)(2011·湖南张家界月考)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤xπ2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.3＋1D.3＋2[答案]B[解析]f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6，∵0≤xπ2，∴π6≤x＋π62π3，∴12≤sinx＋π6≤1，∴f(x)的最大值为2.(理)(2011·湖北文，6)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为()A．{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z}B．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z}C．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z}D．{x|kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈Z}[答案]A[解析]f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)≥1，即sin(x－π6)≥12，∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋5π6k∈Z，∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．2．(文)(2011·北京大兴区模拟)已知函数f(x)＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]f(x)的周期T＝2ππR＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R3，则2R233，只有2R＝4这一种可能，故选D.(理)(2011·北京西城模拟)函数y＝sin(πx＋φ)(φ0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝()A．10B．8C.87D.47[答案]B[分析]利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析]如图，过P作PC⊥x轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∴∠APB＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝2ππ＝2，tanα＝ACPC＝121＝12，tanβ＝BCPC＝321＝32，则tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝12＋321－12×32＝8，∴选B.3．(文)(2011·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A．y＝sin(2x＋π6)B．y＝sin(2x－π6)C．y＝cos(2x＋π3)D．y＝cos(2x－π6)[答案]D[解析]将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A项，y＝sin(－π3＋π6)≠0，A错；对B项，y＝sin(－π2)＝－1≠0，B错；对C项y＝cos0＝1≠0，C错；对D项，y＝cos(－π3－π6)＝cosπ2＝0符合，故选D.(理)(2011·吉林一中月考)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0≤φ2π)的部分图象如图，则()A．ω＝π2，φ＝π4B．ω＝π3，φ＝π6C．ω＝π4，φ＝π4D．ω＝π4，φ＝5π4[答案]C[解析]∵T4＝3－1＝2，∴T＝8，∴ω＝2πT＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C.4．(2011·北京海淀期中)如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f(x)＝cos2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]f(x)＝12＋12cos(2ωx＋2φ)，由图可知T2134T，∴43T2，432π2ω2，π2ω34π，又ω∈N*，∴ω＝2.故选B.5．(2011·安徽百校论坛联考)已知f(x)＝2sin2x－π6－m在x∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．[答案][1,2)[解析]f(x)在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f(x)＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y＝2sin2x－π6，x∈[0，π2]与y＝m有两个不同交点，∴1≤m2.6．(2011·长沙一中月考)已知f(x)＝sinx＋sin(π2－x)．(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f(α)的值；(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．[解析](1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.∵sin2α＝13＝2sinα·cosα0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sinα＋cosα0.由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝43，得sinα＋cosα＝233，∴f(α)＝233.(2)由(1)知f(x)＝2sin(x＋π4)，又0≤x≤π，∴f(x)的单调递增区间为[0，π4]．7．(文)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(b,2a－c)，n＝(cosB，cosC)，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)设f(x)＝cosωx－B2＋sinωx(ω0)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析](1)由m∥n得，bcosC＝(2a－c)cosB，∴bcosC＋ccosB＝2acosB.由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，即sin(B＋C)＝2sinAcosB.又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB.又sinA≠0，∴cosB＝12.又B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)由题知f(x)＝cos(ωx－π6)＋sinωx＝32cosωx＋32sinωx＝3sin(ωx＋π6)，由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋π6)，当x∈[0，π2]时，(2x＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值3.当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－32.(理)(2010·湖北黄冈)已知a＝(3，cosx)，b＝(cos2x，sinx)，函数f(x)＝a·b－32.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈0，π4，求函数f(x)的取值范围；(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？[解析](1)函数f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－32＝31＋cos2x2＋12sin2x－32＝32cos2x＋12sin2x＝sin2x＋π3∴由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z所以f(x)的单调递增区间为－5π12＋kπ，π12＋kπ，(k∈Z)(2)∵x∈0，π4，∴2x＋π3∈π3，5π6∴当2x＋π3＝π2即x＝π12时f(x)max＝1当2x＋π3＝5π6即x＝π4时，f(x)min＝12，∴12≤f(x)≤1.(3)将f(x)的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y＝sin2x的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)1．(2010·合肥质检)对任意x1，x2∈0，π2，x2x1，y1＝1＋sinx1x1，y2＝1＋sinx2x2，则()A．y1＝y2B．y1y2C．y1y2D．y1，y2的大小关系不能确定[答案]B[解析]取函数y＝1＋sinx，则1＋sinx1x