2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学5-4

1.(2011·黄冈月考)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3a5的值是()A.1516B.158C.34D.38[答案]C[解析]∵a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n，∴a2a1＝a1＋1，∴a2＝2，；∵a3a2＝a2－1，∴a3＝12；∵a4a3＝a3＋1，∴a4＝3；∵a5a4＝a4－1，∴a5＝23，∴a3a5＝34.2．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则OP→·OQ→＝()A．2011B．－2011C．0D．1[答案]A[解析]由S21＝S4000得到Sn关于n＝21＋40002＝2010.5对称，故Sn的最大(或最小)值＝S2010＝S2011，故a2011＝0，OP→·OQ→＝2011＋an·a2011＝2011＋an×0＝2011，故选A.3．(2011·佛山月考)若a，b，c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是()A．0B．1C．2D．不确定[答案]A[解析]由题意知，b2＝ac0，∴Δ＝b2－4ac＝－3ac0，∴f(x)的图象与x轴无交点．4．(2011·山西运城教学检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于()A．52B．40C．26D．20[答案]B[解析]由题意得Sn＋1－Snn＋1－n＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，因此数列{an}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故选B.5．(文)(2011·福建质检)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5＝4，则数列{log2an}的前7项和等于()A．7B．8C．27D．28[答案]A[解析]在各项均为正数的等比数列{an}中，由a3a5＝4，得a24＝4，a4＝2.设bn＝log2an，则数列{bn}是等差数列，且b4＝log2a4＝1.所以{bn}的前7项和S7＝7b1＋b72＝7b4＝7.(理)(2011·广东促元中学期中)已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则()A．a6＝b6B．a6b6C．a6b6D．以上都有可能[答案]B[解析]a6＝a1＋a112，b6＝b1b11＝a1a11，由q≠1得，a1≠a11.故a6＝a1＋a112a1a11＝b6.6．(2011·南昌一模)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案]78ar[解析]依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝1212＋12ar＝78ar元．7．(2010·哈尔滨模拟)已知双曲线an－1y2－anx2＝an－1an(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝2x，其中数列{an}是以4为首项的正项数列，则数列{an}的通项公式是________．[答案]an＝2n＋1[解析]双曲线方程为y2an－x2an－1＝1，∵焦点在y轴上，又渐近线方程为y＝2x，∴anan－1＝2，又a1＝4，∴an＝4×2n－1＝2n＋1.8．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．[答案]x＋y－7＝0[解析]由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，∴MN的中点(4,3)，kMN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.1.(2011·安徽百校论坛联考)已知a0，b0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()A．ab＝AGB．ab≥AGC．ab≤AGD．不能确定[答案]C[解析]由条件知，a＋b＝2A，ab＝G2，∴A＝a＋b2≥ab＝G0，∴AG≥G2，即AG≥ab，故选C.[点评]在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．2．(2011·江西新余四中期末)在△ABC中，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA是角A、B、C成等差数列的()A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA⇒2sinAsinC－sin2A＝2cosAcosC＋cos2A⇒2cos(A＋C)＋1＝0⇒cosB＝12⇒B＝π3⇒A＋C＝2B⇒A、B、C成等差数列．但当A、B、C成等差数列时，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA不一定成立，如A＝π2、B＝π3、C＝π6.故是充分非必要条件．故选A.3．(文)数列{an}是公差d≠0的等差数列，数列{bn}是等比数列，若a1＝b1，a3＝b3，a7＝b5，则b11等于()A．a63B．a36C．a31D．a13[答案]A[解析]设数列{bn}的首项为b1，公比为q，则a1＋2d＝a1q2a1＋6d＝a1q4，得d＝a14(q4－q2)．∴a1＋a12(q4－q2)＝a1q2，∵q≠1，∴q2＝2，d＝a12，于是b11＝a1q10＝32a1.设32a1＝a1＋(n－1)·a12，则n＝63，∴b11＝a63.(理)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{1fn}(n∈N*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[答案]A[解析]f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，1fn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1.4．(文)(2010·浙江杭州)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是()A.12B.23C.34D.45[答案]C[解析]循环过程为i＝14→i＝2，m＝1，n＝11×2；i＝24→i＝3，m＝2，n＝11×2＋12×3；i＝34→i＝4，m＝3，n＝11×2＋12×3＋13×4；i＝44不成立，输出n的值．故n＝11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝1－14＝34.(理)(2010·吉林省调研)已知数列{an}的各项均为正数，如图给出程序框图，当k＝5时，输出的S＝511，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2nB．an＝2n－1C．an＝2n＋1D．an＝2n－3[答案]B[解析]由ai＋1＝ai＋2知数列{an}是公差为2的等差数列，由M＝1aiai＋1及S＝S＋M知，S＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1aiai＋1，由条件i≤k不满足时输出S及输入k＝5，输出S＝511知，1a1a2＋1a2a3＋…1a5a6＝12[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…(1a5－1a6)]＝12(1a1－1a6)＝12(1a1－1a1＋10)＝5a1a1＋10＝511，∵a10，∴a1＝1，∴an＝2n－1.5．(文)(2010·湖北质检)若数列{an}满足1an＋1－1an＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{1xn}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.[答案]20[解析]由题意，若{an}为调和数列，则{1an}为等差数列，∵{1xn}为调和数列，∴数列{xn}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.(理)(2011·福州市期末、河北冀州期末)已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于________．[答案]－1[分析]利用导数可求b、c，由a、b、c、d成等比数列可得ad＝bc.[解析]y′＝1x＋2－1，令y′＝0得x＝－1，当－2x－1时，y′0，当x－1时，y′0，∴b＝－1，c＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad＝bc＝－1.6．(2011·焦作模拟)已知函数f(x)＝ax的图象过点(1，12)，且点(n－1，ann2)(n∈N＋)在函数f(x)＝ax的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋1－12an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn5.[解析](1)∵函数f(x)＝ax的图象过点(1，12)，∴a＝12，f(x)＝(12)x.又点(n－1，ann2)(n∈N＋)在函数f(x)＝ax的图象上，从而ann2＝12n－1，即an＝n22n－1.(2)由bn＝n＋122n－n22n＝2n＋12n得，Sn＝32＋522＋…＋2n＋12n，则12Sn＝322＋523＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，两式相减得：12Sn＝32＋2(122＋123＋…＋12n)－2n＋12n＋1，∴Sn＝5－2n＋52n，∴Sn5.7．(文)已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn为其前n项和．(1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q.(2)若a1＝1，证明点P11，S11，P22，S22，…，Pnn，Snn(n∈N*)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析](1)∵a2、a3、a6依次成等比数列，∴q＝a3a2＝a6a3＝a6－a3a3－a2＝3dd＝3，即公比q＝3.(2)证明：∵Sn＝na1＋nn－12d，∴Snn＝a1＋n－12d＝1＋n－12d.∴点Pnn，Snn在直线y＝1＋x－12d上．∴点P1，P2，…，Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y－1＝d2(x－1)．即dx－2y＋2－d＝0.(理)(2010·广东佛山顺德区质检)在等差数列{an}中，设Sn为它的前n项和，若S150，S160，且点A(3，a3)与B(5，a5)都在斜率为－2的直线l上，(1)求a1的取值范围；(2)指出S1a1，S2a2，…，S15a15中哪个值最大，并说明理由．[解析](1)由已知可得a5－a35－3＝－2，则公差d＝－2，∴S15＝15a1＋15×142×d＝15a1－140S16＝16a1＋16×152×d＝16a1－150，∴14a115.(2)最大的值是S8a8，∵S15＝15a80，S16＝8(a8＋a9)0，∴a80，a90，即S8最大．又当1≤i≤8时，Siai0；当9≤i≤15时，Siai0，∵数列{an}递减，∴S1a1≤S2a2≤…≤S8a8，S8a8≥S9a9≥…≥S15a15⇒S8a8最大．1．(2011·揭阳一模)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为()A.2B．4C．2D.12[答案]C[解析]设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a23＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝a3a1＝a1＋2da1＝2a1a1＝2，选C.2．(2011·枣庄质检)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝()A.32B.32或23C