2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学7-3

1.(2011·江西文，6)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01B．43C．07D．49[答案]B[解析]75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，∵2011＝502×4＋3，∴72011与73末两位数字相同，故选B.2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR0成立．其次，若PQR0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P0，Q0，即a＋b－c0，b＋c－a0，∴b0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.3．将正整数排成下表：12345678910111213141516……则在表中数字2010出现在()A．第44行第75列B．第45行第75列C．第44行第74列D．第45行第74列[答案]D[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且19362010,20252010，∴2010在第45行．又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.4．(文)(2011·绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378[答案]C[解析]将三角形数记作an，正方形数记作bn，则an＝1＋2＋…＋n＝nn＋12，bn＝n2，由于1225＝352＝49×49＋12，故选C.(理)(2011·咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A．①④B．②⑤C．③⑤D．②③[答案]C[解析]这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．5．(文)(2010·曲师大附中)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4[答案]C[解析]设三棱锥的内切球球心为O，那么由VS－ABC＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，即V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r，可得r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.(理)(2010·辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)＝ax－a－x2，C(x)＝ax＋a－x2，其中a0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)；④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．A．①③B．②④C．①④D．①②③④[答案]D[解析]实际代入逐个验证即可．如S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝ax－a－x2·ay＋a－y2＋ax＋a－x2·ay－a－y2＝14(ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y＋ax＋y＋ay－x－ax－y－a－x－y)＝14(2ax＋y－2a－x－y)＝ax＋y－a－x＋y2＝S(x＋y)，故①成立．同理可验证②③④均成立．6．(文)定义某种新运算“⊗”：S＝a⊗b的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝()A．2B．1C．3D．4[答案]B[解析]由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.(理)(2010·寿光现代中学)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nfx1＋x2＋…＋xnn，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)＝tanx在0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanC的最小值是()A．3B.23C．33D.3[答案]C[解析]根据f(x)＝tanx在0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanA＋tanB＋tanC≥3tanA＋B＋C3＝3tanπ3＝33.故所求的最小值为33.7．设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x2012的值为________.x123456f(x)451263[答案]6[解析]由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期为6的周期数列，∴x2012＝x2＝6.8．(文)(2011·陕西文，13)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为______________________．[答案]5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]第1个等式有1项，从1开始第2个等式有3项，从2开始第3个等式有5项，从3开始第4个等式有7项，从4开始每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始等式右边不92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.[点评]观察各等式特点可得出一般结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.(理)(2011·台州模拟)观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.[答案]12n(n＋1)[解析]由给出等式观察可知，x2的系数依次为1,3,6,10,15，…，∴a2＝12n(n＋1).1.(文)(2010·山东文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案]D[解析]观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D.(理)(2011·清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D[答案]B[解析]观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.2．(文)(2011·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A．11010B．01100C．10111D．00011[答案]C[解析]对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a1的取值范围是()A．[－12,24]B．(－12,24)C．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D．(－∞，－12]∪[24，＋∞)[答案]D[解析]因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a1＋36，a1＋18，a1＋36，14a1＋18出现的机会是均等的，由于当a3a1时甲胜，且甲胜的概率为34，故在上面四个表达式中，有3个大于a1，∵a1＋18a1，a1＋36a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由4a1＋36a1得a1－12，由14a1＋18a1得，a124，故当－12a124时，四个数全大于a1，当a1≤－12或a1≥24时，有且仅有3个大于a1，故选D.3．(文)如图数表满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)表中递推关系类似杨辉三角下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和．记第n(n1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f(n)＝__________，并可解得通项f(n)＝________.[答案]f(n)＝f(n－1)＋n－1；f(n)＝n2－n＋22[解析]观察图表知f(n)等于f(n－1)与其相邻数n－1的和．∴递推关系为f(n)＝f(n－1)＋n－1，∴f(n)－f(n－1)＝n－1，即f(2)－f(1)＝1，f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，…f(n)－f(n－1)＝n－1，相加得f(n)＝n2－n＋22.(理)(2010·福建文)观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.[答案]962[解析]由题易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162.∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.4．(2011·蚌埠市质检)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7