2013走向高考数学2-6

基础巩固强化1.已知点(33，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数[答案]A[解析]设f(x)＝xα，则(33)α＝3，即3－12α＝312，故α＝－1，因此f(x)＝x－1，所以f(x)是奇函数．故选A.2．(文)函数y＝x35在[－1,1]上是()A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数[答案]A[解析]∵35的分子分母都是奇数，∴f(－x)＝(－x)35＝－x35＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又350，∴f(x)在第一象限内是增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[－1,1]上是增函数．(理)设a∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且该函数为奇函数的所有α值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3[答案]A[解析]在函数y＝x－1，y＝x，y＝x12，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1或3.3．设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．abcC．bacD．acb[答案]C[分析]a、b的指数相同，可以构建幂函数，使用幂函数的单调性比较大小，再构造对数函数以确定c与1的大小关系，然后综合作出判断．[解析]根据幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，可得0.30.50.50.510.5＝1，即ba1；根据对数函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，可得log0.30.2log0.30.3＝1，即c1.所以bac.故选C.4．幂函数y＝x－1及直线y＝x、y＝1、x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x32的图象经过的“区域”是()A．⑧，③B．⑦，③C．⑥，②D．⑤，①[答案]C[解析]y＝x32是增函数，∵321，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.5．给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x12，f4(x)＝1x.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B.6．(2011·青岛一中模拟)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为()A．2B．3C．4D．5[答案]A[解析]由题意知m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，又由题意知m2－2m－30，得m＝2.故选A.7．(文)幂函数y＝f(x)的图象过点4，12，那么f′(8)的值为________．[答案]－264[解析]设f(x)＝xα，由条件知12＝4α，∴α＝－12，∴f(x)＝x－12，∴f′(x)＝－12x－32，∴f′(8)＝－264.(理)若幂函数f(x)的图象经过点A14，12，设它在A点处的切线为l，则过点A与l垂直的直线方程为________．[答案]4x＋4y－3＝0[解析]设f(x)＝xα，∵f(x)图象过点A，∴14α＝12，∴α＝12.∴f(x)＝x12，∴f′(x)＝12x，∴f′14＝1，故切线的斜率为1，从而与l垂直的直线斜率为－1，故过A与l垂直的直线方程为y－12＝－1×x－14，即4x＋4y－3＝0.8．已知函数f(x)＝x1－a3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a＝________.[答案]3[解析]∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，∴1－a30，∴a1.又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)为偶函数，∵a∈N，∴a的最小值为3.9．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范围是________．[答案](－∞，－1)∪(3,5)[解析]由题意，得a＋10，10－2a0，或a＋10，10－2a0，a＋110－2a，或a＋10，10－2a0，a＋110－2a，∴a－1或3a5.(理)若函数f(x)＝dax2＋bx＋c(a、b、c，d∈R)，其图象如图所示，则a:b:c:d＝________.[答案]1:(－6):5:(－8)[解析]由图象知，x≠1且x≠5，故ax2＋bx＋c＝0的两根为1,5.∴－ba＝6，ca＝5，∴b＝－6a，c＝5a，又f(3)＝2，∴d＝18a＋6b＋2c＝－8a.故a:b:c:d＝1:(－6):5:(－8)．10．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a、b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f(8)、g(8)、f(2012)、g(2012)四个数按从小到大的顺序排列．[解析](1)C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.(2)由于交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，令h(x)＝f(x)－g(x)，显然有h(1)＝f(1)－g(1)＝10，h(2)＝f(2)－g(2)＝－40，h(9)＝29－93＝－2170，h(10)＝240，∴x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，∴a＝1，b＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f(8)g(8)g(2012)f(2012).能力拓展提升11.(文)y＝|x－13|的图象为()[答案]A[解析]y＝|x－13|为偶函数，故选A.(理)(2012·潍坊市高三模拟)定义一种运算：a⊗b＝aa≥b，bab，已知函数f(x)＝2x⊗(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是()[答案]B[解析]如图．在同一坐标系内分别作出y＝2x与y＝3－x的图象，据已知函数f(x)的定义知，相同x对应的上方图象即为函数f(x)的图象(如实线部分所示)，然后将其图象左平移1个单位即得函数y＝f(x＋1)的图象，故选B.12．(文)幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝()A．1B．2C．3D．无法确定[答案]A[解析]由条件知，M13，23、N23，13，∴13＝23α，23＝13β，∴13αβ＝13βα＝23α＝13，∴αβ＝1.故选A.(理)函数y＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝b＋1x＋a的大致图象为()[答案]C[解析]由函数y＝ax＋b的图象知0a1，b－1，∵函数y＝b＋1x＋a的图象可视作函数y＝1x的图象，向左平移a个单位，向下平移－b个单位得到的图象，即其中心(－a，b)应位于第三象限，故选C.13．(2012·湖北重点中学联考)已知a＝ln12010－12010，b＝ln12011－12011，c＝ln12012－12012，则()A．abcB．acbC．cabD．cba[答案]A[解析]记f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝1x－1＝1－xx，当0x1时，f′(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵11201012011120120，∴abc，选A.14．(文)函数f(x)＝2－x－1x≤0，x12x0.若f(x0)1，则x0的取值范围是________．[答案]x0－1或x01[解析]当x0≤0时，不等式可化为2－x0－11，即2－x02，解得x0－1；当x00时，不等式可化为x1201，解得x01，故x0的取值范围是x0－1或x01.(理)在y＝(12)x，y＝log2x，y＝x2，y＝x23四个函数中，当0x1x21时，使f(x1＋x22)fx1＋fx22恒成立的函数个数是________．[答案]2个[解析]当0x1x21时，使f(x1＋x22)fx1＋fx22恒成立，说明函数图形是向上凸的，而所考查函数图象只有y＝log2x，y＝x23两个符合要求．15．已知f(x)＝xα(其中α＝1－n2＋2n＋3，n是偶数)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．[解析]由条件知1－n2＋2n＋30，即－n2＋2n＋30，解得－1n3.又n是偶数，∴n＝0,2.当n＝0,2时，f(x)＝x13.∴f(x)在R上单调递增．∴f(x2－x)f(x＋3)转化为x2－xx＋3，解得x－1或x3，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．16．(文)已知函数f(x)＝x13－x-135，g(x)＝x13+x-135.(1)证明f(x)是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)、g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明．[解析](1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝＝－x13－x-135＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．设x1x2，x1，x2∈(0，＋∞)，则f(x1)－f(x2)＝，∵，∴f(x1)－f(x2)0.故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：(理)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有f(x)≤x＋122.(1)求f(1)的值；(2)证明a0，c0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.[解析](1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤1＋122＝1，∴1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1.(2)证明：∵f(1)＝1，f(－1)＝0，∴a＋b＋c＝1，a－b＋c＝0，∴b＝12.∴a＋c＝12.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－12x＋c≥0对x∈R恒成立，∴a0，Δ≤0.∴a0，ac≥116.∴c0，故a0，c0.(3)证明：∵a＋c＝12，ac≥116，由a0，c0及a＋c≥2ac，得ac≤116，∴ac＝116，当且仅当a＝c＝14时，取“＝”．∴f(x)＝14x2＋12x＋14.∴g(x)＝f(x)－mx＝14x2＋12