2015年高考数学数列知识点总结

导航教育独家经典讲义12015年高考数列基础知识点和方法归纳一．考纲要求内容4要求层次ABC数列数列的概念数列的概念和表示法√等差数列、等比数列等差数列的概念√等比数列的概念√等差数列的通项公式与前n项和公式√等比数列的通项公式与前n项和公式√二．定义与性质1.等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy，，成等差数列2Axy前n项和11122nnaannnSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad，，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）导航教育独家经典讲义2nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界项，即：当100ad，，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad，，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.(6)项数为偶数n2的等差数列na，有),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.（7）项数为奇数12n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaaq.等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa··（2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq.注意：由nS求na时应注意什么？导航教育独家经典讲义31n时，11aS；n2时，1nnnaSS.三．判定与证明等差数列的判定方法（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaqqaa或为常数，{}na为等比数列（2）等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列（3）通项公式：0nnaABAB{}na为等比数列（4）前n项和公式：'',,','nnnnSAABSABAABAB或为常数{}na为等比数列等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1nnaqa{}na为等比数列四、数列的通项求法：（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。①递推式为daann1及nnqaa1（qd,为常数）：直接运用等差（比）数列。②递推式为)(1nfaann：迭加法如：已知}{na中211a，14121naann，求na导航教育独家经典讲义4③递推式为nnanfa)(1：迭乘法如：已知}{na中21a，nnanna11，求na④递推式为qpaann1（qp,为常数）：构造法：Ⅰ、由qpaaqpaannnn121相减得)()(112nnnnaapaa，则}{1nnaa为等比数列。Ⅱ、设)()(1taptann，得到qtpt，1pqt，则}1{pqan为等比数列。如：已知52,111nnaaa，求na⑤递推式为nnnqpaa1（qp,为常数）：两边同时除去1nq得qqaqpqannnn111，令nnnqab，转化为qbqpbnn11，再用④法解决。如：已知}{na中，651a，11)21(31nnnaa，求na⑥递推式为nnnqapaa12（qp,为常数）：将nnnqapaa12变形为)(112nnnntaastaa，可得出qstpts解出ts,，于是}{1nntaa是公比为s的等比数列。如：已知}{na中，2,121aa，nnnaaa313212，求na（3）公式法：运用2,1,11nSSnSannn导航教育独家经典讲义5①已知1532nnSn，求na；②已知}{na中，nnaS23，求na；③已知}{na中，)2(122,121nSSaannn，求na五、数列的求和法：（1）公式法：①等差（比）数列前n项和公式：②n321；③6)12)(1(3212222nnnn；④23333]2)1([321nnn（2）倒序相加（乘）法：如：①求和：nnnnnnCnCCCS)1(32210；②已知ba,为不相等的两个正数，若在ba,之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积nP；（3）错位相减法：如：求和：nnxxxxS3232（4）裂项相消法：)(1knnan；nknan1；如：①)1(1431321211nnS；②)2(1531421311nnS；③若11nnan，则nS；（5）并项法：如：求100994321100S（6）拆项组合法：如：在数列}{na中，1210nann，求nS，六、数列问题的解题的策略：导航教育独家经典讲义6（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前n项和公式时，要对公比q进行讨论；只有1q时才能用前n项和公式，1q时11naS②已知nS求na时，要对2,1nn进行讨论；最后看1a满足不满足)2(nan，若满足na中的n扩展到*N，不满足分段写成na。（2）设项的技巧：①对于连续偶数项的等差数列，可设为,3,,,3,dadadada，公差为d2；对于连续奇数项的等差数列，可设为,2,,,,2,dadaadada，公差为d；②对于连续偶数项的等比数列，可设为,,,,,33aqaqqaqa，公比为2q；对于连续奇数项的等比数列，可设为,,,,,,22aqaqaqaqa公比为q；高考题一、选择题1.(广东卷)已知等比数列}{na的公比为正数，且3a·9a=225a，2a=1，则1a=A.21B.22C.2D.22（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.73.（江西卷）公差不为零的等差数列{}na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项,832S,则10S等于A.18B.24C.60D.90.4（湖南卷）设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于A．13B．35C．49D．63导航教育独家经典讲义75.（辽宁卷）已知na为等差数列，且7a－24a＝－1,3a＝0,则公差d＝（A）－2（B）－12（C）12（D）26.（四川卷）等差数列｛na｝的公差不为零，首项1a＝1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.1907.（宁夏海南卷）等差数列na的前n项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m（A）38（B）20（C）10（D）9.8.（重庆卷）设na是公差不为0的等差数列，12a且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=A．2744nnB．2533nnC．2324nnD．2nn9.（四川卷）等差数列｛na｝的公差不为零，首项1a＝1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空题1（浙江）设等比数列{}na的公比12q，前n项和为nS，则44Sa．2.(山东卷)在等差数列}{na中,6,7253aaa,则____________6a.3.（宁夏海南卷）等比数列{na}的公比0q,已知2a=1，216nnnaaa，则{na}的前4项和4S=.三、解答题1、（2014年山东卷）已知等差数列na满足：73a，2675aa，na的前n项和导航教育独家经典讲义8为nS（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令112nnab（*Nn），求数列nb的前n项和为nT。2、（2014陕西卷）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.3、（2014重庆卷）已知na是首项为19，公差为-2的等差数列，nS为na的前n项和.（Ⅰ）求通项na及nS；（Ⅱ）设nnba是首项为1，公比为3的等比数列，求数列nb的通项公式及其前n项和nT.4、（2013北京卷）已知||na为等差数列，且36a，60a。（Ⅰ）求||na的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||nb满足18b，2123baaa，求||nb的前n项和公式5、（2013年全国卷）设等差数列{na}的前n项和为ns，公比是正数的等比数列{nb}的前n项和为nT，已知1133331,3,17,12,},{}nnababTSb求{a的通项公式。6、（2011年全国卷）设数列na的前N项和为nS,已知26,a12630,aa求na和nS7、（2011重庆卷）设是公比为正数的等比数列，,.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和导航教育独家经典讲义9参考答案：一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为q,由已知得22841112aqaqaq,即22q,又因为等比数列}{na的公比为正数，所以2q,故211222aaq,选B2.【解析】∵135105aaa即33105a∴335a同理可得433a∴公差432daa∴204(204)1aad.选B。【答案】B3.答案：C【解析】由2437aaa得2111(3)(2)(6)adadad得1230ad,再由81568322Sad得1278ad则12,3da,所以1019010602Sad,.故选C4.解:172677()7()7(311)49.222aaaaS故选C.或由21161315112aadaaadd,716213.a所以1777()7(113)49.22aaS故选C.5.【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－12【答案】B6.【答案】B设公差为d，则)41(1)1(2dd.∵d≠0，解得d＝2，∴10S＝1007.【答案】C【解析】因为na是等差数列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa，得：2ma－2ma＝0，所以，