2015年高考第一轮复习教案-05函数的值域和最值教师版

第1页共4页函数的值域和最值一．课标要求1．理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．2．掌握函数最值的一般求法，并能利用函数的最值解决一些实际问题，提高分析和解决问题的能力．二．命题走向函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。高考对函数值域和最值考察是以填空为主，以解答题形式为辅，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。预测2013年高考对本节的考察是：1．题型是1个选择2．热点是函数值域和最值的求法，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。三．要点精讲1．函数的值域的定义：函数的值域是函数值的集合，它是由定义域和对应法则确定的，所以求函数的值域时应注意函数的定义域。2.基本初等函数的值域(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域：当a0时，值域为),44[2abac;当a0时，值域为]44,(2abac.(3)反比例函数xky(k≠0)的值域为{y|y≠0}.(4)指数函数y=ax(a0且a≠１)的值域为{y|y0}.(5)对数函数xaylog(a0且a≠１)的值域为R.(6)正、余弦函数y=sinx(x∈R)、y=cosx(x∈R)的值域为{y|-1≤y≤1};正切函数y=tanx(x≠kπ+,k∈Z)的值域为R.3．求函数的值域的方法．求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。(1)利用函数的单调性：若是[a，b]上的单调增(减)函数，则f(a)、f(b)分别是在区间[a，b]上的最小(大)值，最大(小)值．(2)利用配方法(3)利用反函数定义域是原函数的值域(4)利用函数的有界性(5)利用“判别式”法形如(a、p至少有一个不为零)的函数，求其值域，可利用“△”法．(6)利用换元法(7)利用“均值定理”(8)几何法:利用数形结合的思想方法，通过函数图形间的关系，利用平面几何知识求值域．(9)导数法：利用导数与函数的连续性求较复杂函数的极值和最值，然后求出值域．4．函数最值的意义；最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。5．求函数最值的常用方法：函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异；无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此．（1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；第2页共4页（2）判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程2()()()0ayxbyxcy的函数()yfx．在由0且()0ay，求出y的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．。利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2利用图象求函数的最大（小）值；○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；四．典例解析题型1：函数的值域问题例1．求下列函数的值域：（1）232yxx；（2）265yxx；（3）312xyx；（4）41yxx；（5）21yxx；（6）|1||4|yxx；（7）22221xxyxx；（8）2211()212xxyxx；（9）1sin2cosxyx解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212yxxx，∴232yxx的值域为23[,)12．改题：求函数232yxx，[1,3]x的值域．解：（利用函数的单调性）函数232yxx在[1,3]x上单调增，∴当1x时，原函数有最小值为4；当3x时，原函数有最大值为26．∴函数232yxx，[1,3]x的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265xx（0），则原函数可化为y．又∵2265(3)44xxx，∴04，故[0,2]，∴265yxx的值域为[0,2]．（3）（法一）反函数法：312xyx的反函数为213xyx，其定义域为{|3}xRx，∴原函数312xyx的值域为{|3}yRy．（法二）分离变量法：313(2)773222xxyxxx，∵702x，∴7332x，∴函数312xyx的值域为{|3}yRy．（4）换元法（代数换元法）：设10tx，则21xt，∴原函数可化为2214(2)5(0)ytttt，∴5y，∴原函数值域为(,5]．说明：总结yaxbcxd型值域，变形：22yaxbcxd或2yaxbcxd（5）三角换元法：∵21011xx，∴设cos,[0,]x，则cossin2sin()4y∵[0,]，∴5[,]444，∴2sin()[,1]42，∴2sin()[1,2]4，∴原函数的值域为[1,2]．（6）数形结合法：第3页共4页23(4)|1||4|5(41)23(1)xxyxxxxx，∴5y，∴函数值域为[5,)．（7）判别式法：∵210xx恒成立，∴函数的定义域为R．由22221xxyxx得：2(2)(1)20yxyxy①①当20y即2y时，①即300x，∴0xR②当20y即2y时，∵xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根，∴22(1)4(2)0yy，∴15y且2y，∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)111121212121222xxxxyxxxxxx，∵12x，∴102x，∴1111222()21122()22xxxx，当且仅当112122xx时，即122x时等号成立．∴122y，∴原函数的值域为1[2,)2．（9）（法一）方程法：原函数可化为：sincos12xyxy，∴21sin()12yxy（其中221cos,sin11yyy），∴212sin()[1,1]1yxy，∴2|12|1yy，∴2340yy，∴403y，∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221xy上的点的连线的斜率的范围，解略．点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。题型二：函数值域的综合应用例2．若关于x的方程|3|2(22)3xa有实数根，求实数a的取值范围．解：原方程可化为|3|2(22)3xa，令|3|2xt，则01t，2()(2)3aftt，又∵()aft在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)fftf，即2()1ft，故实数a的取值范围为：21a．例3．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元(0)t之间满足：3x与1t成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y万元表示为年促销费t万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31kxt，且0t时，1x，∴2k，即231xt，∴年生产成本为2[32(3)3]1t万元，年收入为21150%[32(3)3]12tt．∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121yttttt，第4页共4页∴29835(0)2(1)ttytt．（2）由（1）得2(1)100(1)6413213250()502422(1)2121ttttyttt，当且仅当13221tt，即7t时，y有最大值42．∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．题型三：函数最值的求法例４．求下列函数的最大值或最小值：（1）2432yxx；（2）12yxx；（3）222251xxyxx．解：（1）2432yxx24(1)4x，由2320xx得13x，∴当1x时，函数取最小值2，当13xorx时函数取最大值4．（2）令112(0,)2xttx，则212tx，∴2211(1)122tytt，当0t，即12x时取等号，∴函数取最大值12，无最小值．（3）解法（一）用判别式法：由222251xxyxx得2(2)(2)50,yxyxyxR，①若2y，则25矛盾，∴2y，②由2y，这时，22(2)4(2)(5)0yyyy，解得：26y，且当6y时，12x，∴函数的最大值是6，无最小值．解法（二）分离常数法：由222251xxyxx2321xx23213()24x∵2133()244x，∴26y，∴函数的最大值是6，无最小值．例５．（1）函数xya在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a2．（2）对于满足40p的一切实数，不等式342pxpxx恒成立，则x的取值范围为(,1)(3,)．（3）已知函数()21xfx，2()1gxx，构造函数()Fx，定义如下：当|()|()fxgx时，()|()|Fxfx，当|()|()fxgx时，()()Fxfx，那么()Fx（B）()A有最小值0，无最大值()B有最小值1，无最大值()C有最大值1，无最小值()D无最小值，也无最大值例６．已知113a，若2()21fxaxx在[1,3]上的最大值为()Ma，最小值为()Na，令()()()gaMaNa，（1）求()ga的函数表达式；（2）判断