2015春A卷答案

《概率论与数理统计》试卷第1页共8页诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试《概率论与数理统计》A卷注意事项：1.开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五六七八总分得分注意：(1.65)0.95(1.96)0.975(1.45)0.9261.400.920.990.950.990.95(7)2.998,(7)1.895,(6)3.143,(6)1.943tttt220.9750.025220.9750.025(6)14.449(6)1.237716.01371.690一、填空题（每小题3分，共18分）1、若5.0)(AP，4.0)(BP，3.0)(BAP，则()PAB0.7.2、设随机变量X服从二项分布10,Bp，若X的方差是52，则12p.3、设随机变量X、Y均服从正态分布2,0.2N且相互独立，则随机变量21ZXY的概率密度函数为21212ze.4、设总体)4,0(~NX，而1521,,,XXX为取自该总体的样本，则统计量)(22152122112102221XXXXXXY服从)5,10(F分布._____________________…姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………《概率论与数理统计》试卷第2页共8页5、设随机变量X的概率密度为其它0102)(xxxf，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件21X出现的次数，则2YP649.6、设总体X和Y相互独立，~0,4XN，~0,9YN，101110iiXX，Y151115iiY，其中1210,,,XXX以及1215,,,YYY时分布来自总体X和Y的随机样本，则XY的数学期望为________.2.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设三个事件两两独立,则相互独立的充分必要条件是(A).(A)与独立(B)与独立(C)与独立(D)与独立2、设A，B是两个随机事件，245,,556PAPBPBA，则（C）1351224825APABBPABCPABDPAB3、设X，Y为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（D）AEXYEXEYBEXYEXEYCDXYDXDYDDXYDXDY4．袋中有4个白球2个黑球，今从中任取3个球，则至少一个黑球的概率为(A).(A)54(B)1(C)51(D)315．设随机变量X服从正态分布211,，随机变量Y服从正态分布222,N，且,,ABC,,ABCABCABACABACABAC《概率论与数理统计》试卷第3页共8页1211PXPY，则必有(A).(A)12(B)12(C)12(D)126、129,,XXX相互独立，1,11,2,9iiEXDXi,则对任意给定的0，有(D).9922119922111(A)11(B)119(C)91(D)919iiiiiiiiPXPXPXPX三、(10分）甲、乙两人轮流投篮，甲先投。一般来说，甲、乙两人独立投篮的命中率分别为0.7和0.6。但由于心理因素的影响，如果对方在前一次投篮中投中，紧跟在后面投篮的这一方的命中率就会有所下降，甲、乙的命中率分别变为0.4和0.5。求：（1）乙在第一次投篮中投中的概率；（2）甲在第二次投篮中投中的概率。解：令1A表示事件“乙在第一次投篮中投中”，令iB表示事件“甲在第i次投篮中投中”，1,2i（1）1111111PAPBPABPBPAB0.70.50.30.60.53（5分）（2）110.53,0.47PAPA2121121PBPAPBAPAPBA（5分）0.530.40.470.70.541四、（14分）设(,)XY在由直线21,,0xxey及曲线1yx所围成的区域上服从均匀分布，（1）求边缘密度()Xfx和()Yfy，并说明X与Y是否独立.（2）求(2)PXY.《概率论与数理统计》试卷第4页共8页解：区域D的面积22111ln2eeDSdxxx(,)XY的概率密度为1,(,),(,)20,xyDfxy其它.（1）122011,1,,1,()(,)220,.0,.xXxedyxefxfxydyx其它其它22221122111(1),0,0,22111,1,1,()(,)2220,0,eyYeyedxyeeydxeyfyfxydxy其它其它（2）因(,)()()XYfxyfxfy，所以,XY不独立（3）2(2)1(2)1(,)xyPXYPXYfxydxdy2210111131110.7522244xdxdy五.（10分）设随机变量X与Y相互独立且同分布，且X的分布律为122133X.记max,,min,UXYVXY，试求,UV的概率分布，并求,CovUV.解：y01e2xy=1/xD《概率论与数理统计》试卷第5页共8页2241,11,1113392,11,22,1211241221333391,201112,22,222339,PUVPXYPXPYPUVPXYPXYPXPYPXPYPUVPUVPXYPXPYUV故的分布律为VU12ip1490492491959jp891914514129998110129994411612499991614104,99981EUEVEUVCovUVEUVEUEV六．（10分）一养鸡场购进1万个良种鸡蛋,已知每个鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡发育成种鸡的概率为0.90，试计算这批鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。解设kAk第只鸡蛋孵化成雏鸡,kBk第只鸡蛋育成种鸡,令11,2,,100000kkkBXkB当发生当不发生则诸kA独立同分布,且1kkkkkkkkPXPBPAPBAPAPBA《概率论与数理统计》试卷第6页共8页0.840.900.75600.244kkPXPB显然,100001kkXX表示10000个鸡蛋育成的种鸡数，则~10000,0.756XB,而100000.7567560,175600.2441844.64npnpp根据棣莫佛-拉普拉斯定理可得1~0,111nkiXnpXnpNnppnpp于是,所求概率为10000175607500756060750011844.641844.641844.64kkXPXP1.400.92因此,由这批鸡蛋得到的种鸡不少于7500只的概率为92%.七、(10分)设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求(1)的矩估计;(2)的极大似然估计。解：的概率密度为X111;01xFxxx当当121,,,,nXXXXX11;01xfxxx当当《概率论与数理统计》试卷第7页共8页(1)由于令，解得，所以参数的矩估计量为(2)似然函数为当，，取对数得两边对求导,得令,可得故的极大似然估计为八．（10分）(1).已知多名实习生相互独立地测量同一块土地的面积，设每名实习生得到的测量数据X平方米服从正态分布2(,)N，从这些测量数据中随机抽取7个，经计算，其平均面积为125平方米，标准差为2.71平方米。求的置信度为90%的置信区间。11;1EXxfxdxxdxx1X1XX1XX112111,2,,;0nniinixinLfxxxx当其他11,2,,ixin0L1lnln1lnniiLnx1lnlnniidLnxdln0dLd1lnniinx1lnniinX《概率论与数理统计》试卷第8页共8页(2).甲乙两厂生产的灯泡，其寿命X和Y分别服从21(84)N，和22(,96)N，现从两厂生产的灯泡中各取60只，测得平均寿命甲厂为1295x小时，乙厂为1230y小时，问在显著性水平0.05＝下能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异？解：（1）的置信度为1下的置信区间为1122((1),(1))11SSXtnXtnnn其中，X表示样本均值，S表示样本标准差，n表示样本容量，又0.95125,2.71,7,0.1,(6)1.943XSnt所以的置信度为90%的置信区间为（122.9，127.1）（2）0121222120.97512122222120:~0,11.961295123003.95849660603.951.96HXYuNnmuuXYunmuH①②③④⑤因为，所以拒绝。即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差异。