专题三-乘法公式和因式分解的公式法

乘法公式和因式分解的公式法一.乘法公式（1）平方差公式22()()ababab；（2）完全平方公式222()2abaabb．（3）立方和公式2233()()abaabbab；（4）立方差公式2233()()abaabbab；（5）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（6）两数和立方公式33223()33abaababb；（7）两数差立方公式33223()33abaababb．二．因式分解的公式法（1）平方差公式22()()ababab＝；（2）完全平方公式2222()aabbab＝．（3）立方和公式3322()()ababaabb＝；（4）立方差公式3322()()ababaabb＝；（5）三数和平方公式22222()()abcabbcacabc＝；（6）两数和立方公式3223333()aababbab＝；（7）两数差立方公式3223333()aababbab＝．三．典型例题例1计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx．例2已知4abc，4abbcac，求222abc的值．练习1．填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m22)164(mm)；（3）2222(2)4(abcabc)．2．选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（）（A）2m（B）214m（C）213m（D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数例3分解因式：（1）abba5；（2）)()(44nmbnma.例4分解因式：(1)38x(2)30.12527b例5分解因式：(1)34381abb(2)76aab例6.若xyxxyy3322279，，求xy22的值。例7.已知：210，求2001的值。四．练习题1、代数式x4－81,x2－9,x2－6x＋9的公因式为（）A、x+3B、（x+3）2C、x－3D、x2+92、若9x2－mxy＋16y2是一个完全平方式，则m=（）A、12B、24C、±12D、±243、若－baxx221分解成)7)(4(21xx，则a、b的值为（）A、3或28B、3和－28C、－23和14D、－23和－144、下列变形是因式分解的是（）A、x2+x－1=（x+1）（x－1）+x,B、（3a2－b2）2=9a4－6a2b2＋b4C、x4－1=（x2+1）（x+1）（x－1）,D、3x2+3x=3x2（1+x1）5、若81－kx4=（9+4x2）（3+2x）（3－2x）,则k的值为（）A、1B、4C、8D、166、下列多项式不能用完全平方公式分解的是（）A、91a2+32ab＋b2B、a2－6a＋36C、－4x2+12xy－9y2D、x2+x＋417、在有理数范围内把y9－y分解因式，设结果中因式的个数为n,则n=（），A、3，B、4C、5D、68、下列多项式不含因式a+b的是（）A、a2－2ab＋b2B、a2－b2C、a2+b2D、（a+b）49、下列分解因式错误的是（）A、4x2－12xy+9y2=（2x+3y）2,B、3x2y+6xy2+3y3=3y（x2+2xy+y2）=3y（x+y）2C、5x2－125y4=5（x－y2）（x+y2）D、－81x2+y2=－（9x－y）（9x+y）10、下列分解因式正确的是（）A、（x－3）2－y2=x2－6x+9－y2,B、a2－9b2=（a+9b）（a－9b）C、4x6－1=（2x3+1）（2x3－1）,D、2xy－x2－y2=（x－y）211：分解因式：⑴22)(4)(nmnm；⑵36)(12)(2nmnm⑶22914942yxxy⑷22222)(624baba12.分解因式：⑴22)(9))(2(6)2(nmnmmnnm.⑵4224168bbaa；⑶1)2(2)2(222mmmm.⑷63244914bbaa⑸1)2(6)2(92baba13.已知2ba，求222121baba的值.14.已知1yx，2xy，求32232xyyxyx的值.15.已知x和y满足方程组346423yxyx，求代数式2249yx的值。16.分解因式：（1）31a；（2）424139xx；（3）8a3－b3；17．因式分解下列各式：(1)31x(2)338ab(3)66xy18．把下列各式分解因式：(1)327a(2)38m(3)3278x(4)3311864pq(5)3318125xy(6)3331121627xyc19．把下列各式分解因式：(1)34xyx(2)33nnxxy(3)2323()amnab(4)2232(2)yxxy1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]和完全平方公式：；[3]差完全平方公式：；[4]2()abc；[5]33ab(立方和公式)；[6]33ab(立方差公式)。由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式；（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()xpqxpq2()()()()xpxqxpqxxpqxpxpxq，∴2()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解由2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法还有：（1）配方法；（2）拆、添项法【习题演练】例1．（提取公因式法及公式法）分解因式：(1)34381abb；(2)76aab例2．分解因式：（1）2222()()abcdabcd（2）2222428xxyyz例3．把下列各式因式分解：(1)2524xx；(2)2215xx；(3)226xxyy(4)222()8()12xxxx例4．把下列各式因式分解：(1)21252xx；(2)22568xxyy。例5分解因式3234xx【巩固练习】1．把下列各式分解因式：(1)2222()()abcdcdab；(2)22484xmxmnn；(3)464x；(4)32113121xxx；(5)3223428xxyxyy。2．已知2,23abab，求代数式22222ababab的值．3．现给出三个多项式，1212xx，13212xx，xx221，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4．已知0abc，求证：32230aacbcabcb．