2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)简单线性规划理北师大版

-1-第四节简单线性规划【考纲下载】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括边界直线，把边界直线画成虚线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线，把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足Ax＋By＋C＜0.(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的符号就可以判断Ax＋By＋C0(或Ax＋By＋C0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是什么？提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.2．线性目标函数的最优解是唯一的吗？提示：不一定，可能有多个．3．线性目标函数取得最值的点是否一定在可行域的顶点或边界上？提示：是．一定在可行域的顶点或边界上．1．(教材习题改编)不等式x－2y＋60表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方解析：选C画出图形如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．-2-2．(教材习题改编)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()解析：选C(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0，或x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0.3．若点(m,1)在不等式2x＋3y－50所表示的平面区域内，则m的取值范围是()A．m≥1B．m≤1C．m1D．m1解析：选D∵点(m,1)在不等式2x＋3y－50所表示的平面区域内，∴2m＋3－50，即m1.4．(2013·安徽高考)若非负变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋2y≤4，则x＋y的最大值为________．解析：由线性约束条件x－y≥－1，x＋2y≤4，x≥0，y≥0，画出可行域如图所示．令z＝x＋y，则直线y＝－x＋z经过C(4,0)时截距最大．∴zmax＝4＋0＝4，∴x＋y的最大值为4.答案：45．在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域-3-的面积等于2，则a的值为________．解析：不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC|＝4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax－y＋1＝0，得a＝3.答案：3考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域[例1](2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－12[自主解答]不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，当M与C重合时，直线OM斜率最小．由x＋2y－1＝0，3x＋y－8＝0，得C(3，－1)，所以直线OM斜率的最小值为kOC＝－13.[答案]C【互动探究】在本例条件下，若P(0，－3)，求|PM|的最小值．解：|PM|的最小值为点P到直线x＋2y－1＝0的距离d＝|0－6－1|1＋4＝75＝755.-4-【方法规律】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，求k的值．解：由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部．y＝kx＋43恰过A0，43，y＝kx＋43将区域平均分成面积相等的两部分，∴直线y＝kx＋43一定过线段BC的中点D，易求C(0,4)，B(1,1)，∴线段BC的中点D的坐标为12，52.因此52＝k×12＋43，k＝73.高频考点考点二线性目标函数的最值问题1．线性目标函数的最值问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题．2．高考对线性目标函数最值问题的考查有以下两个命题角度：(1)求线性目标函数的最值；(2)已知线性目标函数的最值求参数．[例2](1)(2013·天津高考)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()A．－7B．－4C．1D．2(2)(2013·浙江高考)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x≥2，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.-5-[自主解答](1)由x，y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC，作出直线y＝2x，经过平移得目标函数z＝y－2x在点B(5,3)处取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.(2)画出可行域如图所示．其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)．当k＝0时，显然不符合题意；当k0时，最大值在点C处取得，此时12＝4k＋4，即k＝2；当k0时，最大值在点A处或C处取得，此时12＝2k＋3或12＝4k＋4，即k＝920(舍)或k＝20(舍)．故k＝2.[答案](1)A(2)2线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2解析：选B由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC)．-6-由x＝1，y＝ax－，得A(1，－2a)，当直线2x＋y－z＝0过点A时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝12.2．已知变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则z＝x＋y的最大值是________．解析：如图所示，画出约束条件表示的平面区域(四边形ABCD)，作出目标函数z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0，通过平移可知z＝x＋y在点C处取最大值，而点C的坐标为(1,4)，故zmax＝5.答案：5考点三线性规划的实际应用[例3](2013·湖北高考)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元[自主解答]设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则36x＋60y≥900，y－x≤7，y＋x≤21，x，y∈N，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800元．[答案]C【方法规律】求解线性规划应用题的注意点(1)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．-7-(2)对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元解析：选C根据题意，整理表格如下：A原料(千克)B原料(千克)利润(元)甲产品(桶)12300乙产品(桶)21400限制1212设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有x＋2y≤12，2x＋y≤12，x，y∈N，z＝300x＋400y.作出可行域如图中阴影部分内的整点．将z＝300x＋400y变形为y＝－34x＋z400，得到斜率为－34，在y轴上的截距为z400，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y＝－34x＋z400经过点A时，z400最大，即z最大．解方程组x＋2y＝12，2x＋y＝12，得A点坐标为(4,4)，所以zmax＝300×4＋400×4＝2800元．故每天生产甲产品4桶，乙产品4桶时，公司共可获得的最大利润为2800元．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．个步骤——利用线性规划求最值的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．-8-个注意点——求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：(1)若b0，则截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值．(2)若b0，则截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．前沿热点(十)与线性规划有关的交汇问题1．线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题．2．解决此