2012年数学文科高考题分类专题七平面解析几何

专题七平面解析几何1.(2012·高考课标全国卷)设F1、F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.452.(2012·高考山东卷)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y3.(2012·高考福建卷)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A．25B．23C.3D．14.(2012·高考浙江卷)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C.3D.25.(2012·高考辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A．1B．3C．－4D．－86.(2012·高考江西卷)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.5－27.(2012·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．8.(2012·高考江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．9.(2012·高考天津卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点P5a5，22a在椭圆上．(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．10.(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120·(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．11.(2012·高考安徽卷)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．12.(2012·高考陕西卷)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C2的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB→＝2OA→，求直线AB的方程．13.(2012·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.14.(2012·高考重庆卷)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．专题七平面解析几何1.C由题意可知∠PF2x＝60°，|PF2|＝（3a2－c）cos60°＝3a－2c，由|PF2|＝|F1F2|，得3a－2c＝2c，∴e＝34，故选C.2.Dca＝2a·p2a2＋b2＝2，可得p＝8，故选D.3.B圆心到直线的距离d＝|0＋0－2|2＝1，∴|AB|＝2r2－d2＝24－1＝23.4.B设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a1，2a2，则易得a1＝2a2，又∵焦距相等，∴e2∶e1＝2.5.CPA方程为：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8，同理QA为：y＝－2x－2，解得x＝1，∴y＝－4.6.B如图|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，∴4c2＝a2－c2，∴e＝ca＝55.7.43根据题意，x2＋y2－8x＋15＝0，将此化成标准形式为(x－4)2＋y2＝1，得到该圆的圆心为M(4，0)，半径为1，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M(4，0)到直线y＝kx－2的距离d≤1＋1＝2即可，所以有d：|4k－2|k2＋1≤2，化简得k(3k－4)≤0，解得0≤k≤43，所以k的最大值为43.8.(2，2)设P(x0，y0)如图|PO|＝2.∴x20＋y20＝4x0＋y0－22＝0.则x20＋(x0－22)2＝4，∴x20－22x0＋2＝0.∴(x0－2)2＝0，∴x0＝2，y0＝2.9.解：(Ⅰ)因为点P55a，22a在椭圆上，故a25a2＋a22b2＝1，可得b2a2＝58.于是e2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝38，所以椭圆的离心率e＝64.(Ⅱ)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．由条件得y0＝kx0，x20a2＋y20b2＝1.消去y0并整理得x20＝a2b2k2a2＋b2.①由|AQ|＝|AO|，A(－a，0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2.整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝－2a1＋k2，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·a2b2＋4.由(Ⅰ)知a2b2＝85，故(1＋k2)2＝325k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.所以直线OQ的斜率k＝±5.10.解：(1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12.(Ⅱ)法一：因为a2＝4c2，b2＝3c2，所以bc＝3，直线AB的方程可为：y＝－3(x－c)，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B(85c，－335c)，所以|AB|＝1＋3·85c－0＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝85a，由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2＋x24＝1(a＞2)．其离心率为32，故a2－4a＝32，则a＝4，故椭圆C2的方程为y216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB→＝2OA→及(Ⅰ)知，O、A、B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x2A＝41＋4k2，将y＝kx代入y216＋x24＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x2B＝164＋k2，又由OB→＝2OA→得x2B＝4x2A，即164＋k2＝161＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB→＝2OA→及(Ⅰ)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x2A＝41＋4k2，由OB→＝2OA→得x2B＝161＋4k2，y2B＝16k21＋4k2，将x2B，y2B代入y216＋x24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.13.解：(1)双曲线C：x212－y2＝1，左焦点F－62，0.设M(x，y)，则|MF|2＝x＋622＋y2＝3x＋222，由M点是右支上一点，知x≥22，所以|MF|＝3x＋22＝22，得x＝62.所以点M的坐标为62，±2.(2)由(1)知，左顶点A－22，0，渐近线方程：y＝±2x.过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为：y＝2x＋22，即y＝2x＋1.解方程组y＝－2xy＝2x＋1，得x＝－24，y＝12.所求平行四边形的面积为S＝|OA||y|＝24.(3)设直线PQ的方程是y＝kx＋b，因直线PQ与已知圆相切，故|b|k2＋1＝1，即b2＝k2＋1(*)．由y＝kx＋b2x2－y2＝1，得(2－k2)x2－2kbx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2kb2－k2，x1x2＝－1－b22－k2.又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)，所以OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝（1＋k2）（－1－b2）2－k2＋2k2b22－k2＋b2＝－1＋b2－k22－k2.由(*)知，OP→·OQ→＝0，所以OP⊥OQ.14.解：(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，右焦点为F2(c，0)．因△AB1B2是直角三角形且|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，从而|OA|＝|OB2|，即b＝c2.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝ca＝255.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝12·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝c2·b＝b2，由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x220＋y24＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1(－2，0)、B2(2，0)．由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为：x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.(*)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝4mm2＋5，y1·y2＝－16m2＋5.又B2P→＝(x1－2，y1)，B2Q→＝(x2－2，y2)，所以B2P→·B2Q→＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－16（m2＋1）m2＋5－16m2m2＋5＋16＝－16m2－64m2＋5，由PB2⊥QB2，知B2P→·B2Q→＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.当m＝2时，方程(*)化为：9y2－8y－16＝0，故y1＝4＋4109，y2＝4－4109，