2012年数学一轮复习精品试题第32讲一元二次不等式及其解法

第三十二讲一元二次不等式及其解法第1页共6页第三十二讲一元二次不等式及其解法班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－20⇒x2＋x－20⇒－2x1.故选B.答案：B2．不等式x＋5(x－1)2≥2的解集是()A.－3，12B.－12，3C.12，1∪(1,3]D.－12，1∪(1,3]解析：x＋5(x－1)2≥2⇒x＋5≥2(x－1)2x－1≠0⇒－12≤x≤3，x≠1.∴x∈－12，1∪(]1，3.故选D.答案：D3．设函数f(x)＝22,0,xbxcx，x0≤若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为()A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪(0，＋∞)D．[－3，＋∞)解析：由f(－4)＝f(0)，得函数f(x)＝x2＋bx＋c(x≤0)的对称轴x＝－2＝－b2，所以b＝4.f(－2)＝0得c＝4.第三十二讲一元二次不等式及其解法第2页共6页不等式f(x)≤1等价于x0时－2≤1，x≤0时x2＋4x＋4≤1，解得x0或－3≤x≤－1.故选C.答案：C4．不等式4x－1≤x－1的解集是()A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B．[－1,1)∪[3，＋∞)C．[－1,3]D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：原不等式化为x2－2x－3x－1≥0，由数轴标根法解得－1≤x1或x≥3.答案：B5．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立，则a的取值范围是()A．a≥0B．a≥－2C．a≥－52D．a≥－3解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－a2，若－a2≥12，即a≤－1时，则f(x)在0，12上是减函数，应有f12≥0⇒－52≤a≤－1若－a2≤0，即a≥0时，则f(x)在0，12上是增函数，应有f(0)＝10恒成立，故a≥0若0≤－a2≤12，即－1≤a≤0，则应有f－a2＝a24－a22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1≤a≤0.综上，有－52≤a.答案：C评析：考查一元二次不等式与函数相结合，利用函数的性质解不等式问题．6．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()第三十二讲一元二次不等式及其解法第3页共6页A．－1b0B．b2C．b－1或b2D．不能确定解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝a2＝1，故a＝2.又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)0恒成立，即f(x)min＝b2－b－20恒成立，解得b－1或b2.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．若关于x的不等式ax2－6x＋a20的解集是(1，m)，则m＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a20的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a20的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案：28．(2009·青岛市模拟)已知不等式ax2＋bx＋a0(ab0)的解集是空集，则a2＋b2－2b的取值范围是________．解析：∵不等式ax2＋bx＋a0(ab0)的解集是空集，∴a0，b0，且Δ＝b2－4a2≤0，∴b2≤4a2.∴a2＋b2－2b≥b24＋b2－2b＝54b－452－45≥－45.∴a2＋b2－2b的取值范围是－45，＋∞.答案：－45，＋∞9．(2010·西城模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．第三十二讲一元二次不等式及其解法第4页共6页解析：由题意知a0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，又a0，∴f(x)max＝8a2－(－3a)24a＝－a24a＝－a41，∴－4a0.答案：(－4,0)10．(2009·石家庄质检一)若不等式x－1x＋m＋m0的解集为{x|x3或x4}，则m的值为________．解析：由x－1x＋m＋m0，得(1＋m)x＋m2－1x＋m0，即当1＋m0时有(x＋m－1)(x＋m)0，其大根为1－m，小根为－m.所以1－m＝4－m＝3，推得m＝－3，故填：－3.答案：－3三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.(1)若函数f(x)有最大值178，求实数a的值；(2)解不等式f(x)1(a∈R)．解：(1)a≥0时不合题意，f(x)＝ax＋12a2－1＋4a24a，当a0时，f(x)有最大值，且－1＋4a24a＝178，解得a＝－2或a＝－18.(2)f(x)1，即ax2＋x－a1，(x－1)(ax＋a＋1)0，①当a＝0时，解集为{x|x1}；②当a0时，(x－1)x＋1＋1a0，解集为{x|x1或x－1－1a}；第三十二讲一元二次不等式及其解法第5页共6页③当a＝－12时，(x－1)20，解集为∅；④当－12a0时，(x－1)x＋1＋1a0，解集为{x|1x－1－1a}；⑤当a－12时，(x－1)x＋1＋1a0，解集为{x|－1－1ax1}．12．解关于x的不等式：ax－1x－a0.解：当a＝0时，不等式化为－1x0，解得x0；若a≠0，则原不等式可化为ax－1ax－a0.当0a1时，a1a，解得xa或x1a；当a＝1时，不等式化为x－1x－10，解得x∈R且x≠1；当a1时，a1a，解得x1a或xa；若a0，则不等式可化为x－1ax－a0.当a－1时，a1a，解得ax1a；当a＝－1时，不等式可化为x＋1x＋10，其解集为∅；当－1a0时，a1a，解得1axa.综上，当a－1时，不等式解集为x|ax1a；当a＝－1时，不等式解集为∅；当－1a0时，不等式解集为x|1axa；第三十二讲一元二次不等式及其解法第6页共6页当a＝0时，不等式解集为{x|x0}；当0a1时，不等式解集为x|xa或x1a；当a＝1时，不等式解集为{x|x∈R且x≠1}；当a1时，不等式解集为x|x1a或xa.13．关于x的不等式组x2－x－20，2x2＋(2k＋5)x＋5k0，的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解：原不等式组等价于x2或x－1，x＋52(x＋k)0.由题意知－k－52，即x2或x－1，－52x－k.又知解集内仅有一整数－2，所以－2－k≤3，即－3≤k2.