2012年数学一轮复习精品试题第十十一模块概率与统计算法初步数系的扩充与复数的引入

第十、十一模块概率与统计算法初步、数系的扩充与复数的引入一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2xy＝1的概率为()A.16B.536C.112D.12解析：满足log2xy＝1，即y＝2x，其结果有(1,2)，(2,4)，(3,6)3种，即概率为336＝112.故选C.答案：C2．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9B．18C．27D．36解析：设老年职工有x人，则中年职工有2x人，∴3x＋160＝430，x＝90，又由32160×90＝18，故选B.答案：B3．有一段长为11米的木棍，现要剪成两段，每段不小于3米的概率是()A.311B.511C.711D.911解析：记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有11－3－3＝5(米)，在中间的5米长的木棍上，任何一个位置剪都满足条件，所以P(A)＝11－3－311＝511.故选B.答案：B4．(2010·山东日照检测)10件产品中，有4件二等品，从中任取2件，则抽不到二等品的概率为()A.25B.35C.23D.13解析：从总体10件产品中任取2件的方法有45种，从6件非二等品中任取2件的方法有15种，因此P＝1545＝13.答案：D5．鲁北化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料的有效成分含量x之间的相关关系．现取了8对观测值，经计算得：i＝18xi＝52，i＝18yi＝228，i＝18x2i＝478，i＝18xiyi＝1849，则y与x的回归方程为()A.y^＝2.62x＋11.47B.y^＝2.62x－11.47C.y^＝11.47x＋2.62D.y^＝－2.62x＋11.47解析：将所给数据代入公式可计算出a，b的值分别为11.47和2.62，再代入y^＝bx＋a可得．答案：A6．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A.x－甲x－乙；乙比甲稳定B.x－甲x－乙；甲比乙稳定C.x－甲x－乙；乙比甲稳定D.x－甲x－乙；甲比乙稳定解析：x－甲＝81，x－乙＝86.8，很明显s2甲s2乙，故选A.答案：A7．(2010·陕西)如图是求样本x1，x2，…，x10平均数x－的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()A．S＝S＋xnB．S＝S＋xnnC．S＝S＋nD．S＝S＋1n解析：根据题意可知该框图的算法功能是求样本x1，x2，…，x10平均数x－，要求平均数x－须先求和，观察框图执行框里面应填充求和变量关系S＝S＋xn，故选A.答案：A8．(2010·浙江)某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()A．k4?B．k5?C．k6?D．k7?解析：第一次执行后，k＝2，S＝2＋2＝4；第二次执行后，k＝3，S＝8＋3＝11；第三次执行后，k＝4，S＝22＋4＝26；第四次执行后，k＝5，S＝52＋5＝57，此时结束循环，故判断框中填k4?答案：A9．(2010·抚顺六校第二模拟)某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝1xC．f(x)＝lnx＋2x－6D．f(x)＝sinx解析：第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f(x)＝sinx为奇函数，且存在零点，故选D.答案：D10．(2010·惠州第三次调研)在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i是虚数单位)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为π23π，所以cos30，sin30，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．答案：B11．(2010·皖南八校第二次联考)若z＝y＋3i1＋xi(x，y∈R，i为虚数单位)是实数，则实数xy的值为()A．3B．－3C．0D.3解析：∵z＝y＋3i1＋xi＝(y＋3i)(1－xi)(1＋xi)(1－xi)＝(y＋3x)＋(3－xy)i1＋x2为实数，∴3－xy1＋x2＝0，∴xy＝3，故选A.答案：A12．(2010·福州质检)已知b是实数，i是虚数单位，若复数(1＋bi)(2＋i)对应的点在实轴上，则b＝()A．－12B.12C．－2D．2解析：∵复数(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(1＋2b)i对应的点在实轴上，∴1＋2b＝0，∴b＝－12.答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．解析：以2颗骰子的点数作为P点的坐标有36个，其中落在圆x2＋y2＝16内的点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个．于是所求概率为P＝836＝29.答案：2914．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844因为K2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．解析：当K2≥3.841时，查表可知统计专业与性别无关系的可信度为0.05，所以判定它们有关系出错的可能性为5%.答案：5%15．(2010·江苏)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．解析：由算法流程图知，当n＝1时，S＝1＋21＝3；当n＝2时，S＝3＋22＝7；当n＝3时，S＝7＋23＝15；当n＝4时，S＝15＋24＝31；当n＝5时，S＝31＋25＝6333，循环结束，故输出的S的值是63.答案：6316．(2010·深圳第一次调研)若复数z＝1＋i1－i＋m·1－i1＋i(i为虚数单位)为实数，则实数m＝________.解析：复数z＝1＋i1－i＋m·1－i1＋i＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＋m·(1－i)2(1＋i)(1－i)＝2i2＋m·－2i2＝(1－m)i，因为复数z＝1＋i1－i＋m·1－i1＋i(i为虚数单位)为实数，则1－m＝0，m＝1.答案：1三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)从某中学高三年级参加期中考试的1000名学生中，用系统抽样法抽取了一个容量为200的总成绩的样本，分数段及各分数段人数如下(满分800分)：分数段300～400400～500500～600600～700700～800人数2030804030(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计分数在300～600分数段以内的在总体中所占的比例；(4)估计分数在600分以上的总体中占的比例．解：(1)频率分布表如下：分数段(分)频数频率300～400200.10400～500300.15500～600800.40600～700400.20700～800300.15合计2001.00(2)频率分布直方图如下：(3)估计分数在300～600分数段内的人数在总体中占的比例为0.65.(4)估计分数在600分以上的在总体中占的比例为0.35.18．(12分)一盒中装有各色球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．解：解法一：(利用公式P(A)＝nAn求概率)(1)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球是红球或黑球的概率为P1＝912＝34.(2)从12个球中任取一球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法．从而任取1球是红球或黑球或白球的概率为P2＝5＋4＋212＝1112.解法二：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取一球为红球}；A2＝{任取一球为黑球}；A3＝{任取一球为白球}；A4＝{任取一球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.19．(12分)随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．解：(1)由茎叶图可知，甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)x－＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，甲班的样本方差为110×[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设“身高为176cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝25.20．(12分)设计一个计算1＋2＋3＋…＋3000的值的算法，并画出程序框图．解：算法：S1：i＝1；S2：S＝0；S3：如果i≤3000，则执行S4，S5，否则执行S6；S4：S＝S＋i；S5：i＝i＋1，返回S3；S6：输出S.程序框图如图：评析：(1)循环结构中要有中止循环的条件，不能无休止运算下去，循环结构中一定包含条件结构，如i≤3000就是中止循环的条件；(2)循环结构关键要理解“累加变量”和“用i＋1代替i”，S是一个累加变量，i是计数变量，每循环一次，S和i都发生变化．21．(12分)先阅读框图，再解答有关问题：(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？(2)当输入已知量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；②输出S的结果是什么？写出求S的过程．解：(1)当n＝1时，a＝13；当n＝2时，a＝115；当n＝3时，a＝135.(2)①解法一：记输入n时，①中输出结果为an，②中输出结果为Sn，则a1＝13，an＝2n－32n＋1an－1(n≥2)，所以anan－1＝2n－32n＋1(n≥2)．所以an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝2n－32n＋1·2n－52n－1·2n－72n－3·…·15·13＝12n＋1·12n－1＝14n2－1.解法二：猜想an＝14n2－1.证明：(ⅰ)当n＝1时，结论成立．(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)，即ak＝14k2－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝2(k＋1)－32(k＋1)＋1ak＝2k－12