2012年数学一轮复习试题两角和与差及二倍角公式

第1页共4页第十八讲两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cosα－π6＋sinα＝453，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C．－45D.45解析：∵cosα－π6＋sinα＝453∴32cosα＋32sinα＝453，312cosα＋32sinα＝453，3sinπ6＋α＝453，∴sinπ6＋α＝45，∴sinα＋76π＝－sinπ6＋α＝－45.答案：C2．已知cosπ6－α＝33，则cos56π＋α－sin2α－π6的值是()A.2＋33B．－2＋33C.2－33D.－2＋33解析：∵cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33.而sin2α－π6＝1－cos2α－π6＝1－13＝23，所以原式＝－33－23＝－2＋33.答案：B3．若sinα＝55，sinβ＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为()A．－π4B.π4C．±π4D.π3解析：解法一：依题意有cosα＝1－552＝255，cosβ＝1－10102＝31010，∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0.∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.解法二：∵α，β都是锐角，且sinα＝55＜22，sinβ＝1010＜22，∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2，∴cosα＝1－552＝255，cosβ＝1－10102＝31010，sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22.∴α＋β＝π4.答案：B第2页共4页4．在△ABC中，若cosA＝45，cosB＝513，则cosC的值是()A.1665B.5665C.1665或5665D．－1665解析：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，cosA＝45＞0，cosB＝513＞0，得0＜A＜π2，0＜B＜π2，从而sinA＝35，sinB＝1213，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665，故选A.答案：A5．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ的值等于()A．0B．±3C．0或3D．0或±3解析：由cos2θ＋cosθ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或12.当cosθ＝－1时，有sinθ＝0；当cosθ＝12时，有sinθ＝±32.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或3或－3.答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011·海口质检)在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sin[(A－B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________．解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.答案：38．已知cosπ4－α＝1213，α∈0，π4则cos2αsinπ4＋α(α∈0，π4)＝________.解析：∵cos2αsinπ4＋α＝cos2α－sin2α22(sinα＋cosα)＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)22(sinα＋cosα)＝2(cosα－sinα)＝2sinπ4－α.第3页共4页又α∈0，π4，则π4－α∈0，π4.由cosπ4－α＝1213，则sinπ4－α＝513.∴原式＝1013.答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝1＋3sin10°cos10°cos40°＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40°＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40°＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1.答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinα∴α＝π4.答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.∴tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×121－122＝43，∴tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanα·tan2β＝7＋431－7×43＝－1.第4页共4页∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.12．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.(1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sinα，进而可求tanα，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cosβ.解：(1)由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0βαπ2，得0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.所以β＝π3.13．已知0βπ4α34π，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：∵π4α3π4，∴－3π4－α－π4，－π2π4－α0.又∵cosπ4－α＝35，∴sinπ4－α＝－45.又∵0βπ4，∴3π43π4＋βπ.又∵sin3π4＋β＝513，∴cos3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cosπ2＋(α＋β)＝－cos3π4＋β－π4－α＝－cos3π4＋βcosπ4－α－sin3π4＋βsinπ4－α＝－－1213×35－513×－45＝3665＋2065＝5665.评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α.