2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第4章检测题

第四章三角函数名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知2tanα·sinα＝3，－π2α0，则cosα－π6的值是()A．0B.32C．1D.12解析：依题意得2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝12或cosα＝－2(舍去)．又－π2α0，因此α＝－π3，故cosα－π6＝cos－π3－π6＝cosπ2＝0，选A.答案：A2．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值等于()A.223B．－223C.13D．－13解析：cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝－sinα－π4＝－13，故选D.答案：D3．若0αβπ2，则下列不等式不正确的是()A．sinα＋sinβα＋βB．α＋sinβsinα＋βC．α·sinαβ·sinβD．β·sinαα·sinβ解析：由已知得sinαα，sinββ，0sinαsinβ，因此sinα＋sinβα＋β，即选项A正确．α·sinαβ·sinβ，即选项C正确．构造函数f(x)＝x－sinx(其中x0)，则f′(x)＝1－cosx≥0，因此函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是增函数，当0αβπ2时，有f(α)f(β)，即α－sinαβ－sinβ，α＋sinβsinα＋β，即选项B正确．对于选项D，当α＝π6，β＝π3时，β·sinα＝π6π6·32＝α·sinβ，选项D不正确．答案：D点评：对于此类问题，可以考虑通过取特殊值的方法来确定答案．4．如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA→围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sinθ6＋cosθ6的值是()A．1B.12C．－1D．－12解析：结合图形易知θ＝6π，∴sinθ6＋cosθ6＝－1.答案：C5.α，β∈{1,2,3,4,5}，那么使得sinα·cosβ0的数对(α，β)共有()A．9个B．11个C．12个D．13个解析：注意到01π223π43π252π，就α的取值分类计数：(1)当α取1、2、3之一时，sinα0，此时需cosβ0，β可取2、3、4之一，相应的数对(α，β)有3×3＝9个；(2)当α取4、5之一时，sinα0，此时需cosβ0，β可取1、5之一，相应的数对(α，β)有4个．因此满足题意的数对(α，β)共有9＋4＝13个，选D.答案：D6．已知函数y＝－2sin2x·tanx，则()A．函数最小值是－1，最大值是0B．函数最小值是－4，无最大值C．函数无最小值，最大值是0D．函数最小值是－4，最大值是0解析：y＝－2sin2x·tanx＝－4sinxcosx·sinxcosx＝－4sin2x＝2cos2x－2.由y＝－2sin2x·tanx，知x≠kπ＋π2，∴2x≠2kπ＋π.∴当2x＝2kπ时，y＝2cos2x－2有最大值为0；由于2x≠2kπ＋π，显然y＝2cos2x－2无最小值．故选C.答案：C7．已知α、β为锐角，且sinαcosβ＋sinβcosα＝2，则下列结论中正确的是()A．α＋βπ2B．α＋β＝π2C．α＋βπ2D．α＋β＝π4解析：设f(x)＝sinxcosβ＋sinβcosx，易知x∈0，π2时f(x)为增函数．而当x＝π2－β和x＝α时有f(α)＝fπ2－β，故α＝π2－β，即α＋β＝π2.答案：B点评：应用函数的单调性解题的创造性体现在：通过已知条件进行联想，从而发现或构造单调函数．当然此题也可以令sinα＝cosβ，则sinβ＝cosα也满足题意，但需要具备一定的观察能力．8．已知sinπ6＋α＝13，则cos2π3－2α的值等于()A．－59B．－79C.59D.79解析：∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴sinπ6＋α＝cosπ3－α＝13，∴cos2π3－2α＝cos2π3－α＝2cos2π3－α－1＝2×132－1＝－79，故选B.答案：B9．已知acosα＋bsinα＝c，acosβ＋bsinβ＝c(ab≠0，α－β≠kπ，k∈Z)，则cos2α－β2＝()A.c2a2＋b2B.a2c2＋b2C.b2a2＋c2D.ac2＋b2解析：在平面直角坐标系中，设A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，点A与点B是直线l：ax＋by＝c与单位圆x2＋y2＝1的两个交点，如图，从而|AB|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到直线l的距离d＝|c|a2＋b2，由平面几何知识得|OA|2－12|AB|2＝d2，即1－2－2cosα－β4＝c2a2＋b2，∴cos2α－β2＝c2a2＋b2.答案：A10．函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cosa＋b2的值为()A．0B.22C．1D．－1解析：由f(a)＝－1，f(b)＝1，得a＝2kπ－π2，k∈Z，b＝2kπ＋π2，k∈Z，故cosa＋b2＝cos2kπ＝1，故选C.答案：C11．函数f(x)＝2|sinx|·sinx－π4sinx－cosx是()A．最小正周期为π2的偶函数B．最小正周期为π的非奇非偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的非奇非偶函数解析：由sinx－cosx≠0得x≠kπ＋π4(k∈Z)．因此，函数f(x)的定义域不是关于原点对称的数集，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．注意到f(x)＝|sinx|(x≠kπ＋π4，k∈Z)，所以函数f(x)的最小正周期为π，选B.答案：B12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，x∈R)对定义域内的任意x，都满足条件f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)．若A＝sin(ωx＋φ＋9ω)，B＝sin(ωx＋φ－9ω)，则有()A．ABB．A＝BC．A≥BD．AB解析：∵对于定义域内的任意x，都有f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)，①∴f(x＋1)＝f(x＋2)－f(x＋3)，②由①、②得：f(x)＝－f(x＋3)，③用x＋3代替x得：f(x＋3)＝－f(x＋6)，④由③、④得：f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期为6.又∵A＝sin(ωx＋φ＋9ω)＝sin[ω(x＋9)＋φ]＝sin[ω(x＋6×2－3)＋φ]＝sin[ω(x－3)＋φ]，而B＝sin(ωx＋φ－9ω)＝sin[ω(x－9)＋φ]＝sin[ω(x－6－3)＋φ]＝sin[ω(x－3)＋φ]，∴A＝B，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13．函数y＝2sinπ3－x－cosπ6＋x(x∈R)的最小值为________．解析：依题意，y＝2sinπ3－x－cosπ6＋x＝2sinπ3－x－sinπ3－x＝sinπ3－x，所以函数的最小值为－1.答案：－114．已知函数f(x)＝x2－cosx，对于[－π2，π2]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1x2；②x12x22；③|x1|x2.其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是________．解析：验证答案，令x1＝π2x2＝－π2，则f(x1)＝f(x2)，故①不符合题意；令x1＝x2＝－π2，则|x1|x2，但f(x1)＝f(x2)，故③不符合题意，所以只有②符合题意．答案：②15．已知函数y＝asinx＋bcosx＋c的图象上有一个最低点74π，1，如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2π倍，然后向左平移一个单位，可得到y＝f(x)的图象，又知f(x)＝3的所有根依次形成公差为2的等差数列，下列结论：(1)f(x)的周期为4；(2)f(x)的周期为2；(3)a＝2，b＝－2，c＝3；(4)a＝1，b＝－1，c＝2.其中正确的序号是________．解析：依题意可知－22a＋22b＋c＝1，－a2＋b2＋c＝1，解得a＝－b，y＝asinx＋bcosx＋c＝2asinx－π4＋c，a0，－2a＋c＝1，且f(x)＝2asinπ2x＋1－π4＋c＝2asinπ2x＋π4＋c，函数f(x)的周期是2ππ2＝4，因此(1)是正确的．(2)是错误的．由f(x)＝3的所有根依次形成公差为2的等差数列及f(x)的周期是4得c＝3.又－2a＋c＝1，由此解得a＝2，b＝－2，(3)是正确的．综上所述，其中正确的命题是(1)(3)．答案：(1)(3)16．已知函数f(x)＝1＋sin2xsinx＋cosx，给出下列结论：①f(x)的定义域为x|x∈R，且x≠2kπ－π4，k∈Z；②f(x)的值域为[－1,1]；③f(x)是周期函数，最小正周期为2π；④f(x)的图象关于直线x＝π4对称；⑤将f(x)的图象按向量a＝π2，0平移得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数．其中正确的结论是________．(将你认为正确的结论序号都写上)解析：∵1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2，∴f(x)＝|sinx＋cosx|sinx＋cosx，f(x)的定义域为sinx＋cosx≠0，即x∈R，且x≠kπ－π4，k∈Z；f(x)＝1，sinx＋cosx0－1，sinx＋cosx0＝1，x∈2kπ－π4，2kπ＋3π4k∈Z－1，x∈2kπ＋3π4，2kπ＋7π4()k∈Z，观察图象可知：f(x)的值域为{－1,1}；函数f(x)的最小正周期为2π；函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称；f(x)的图象向右平移π2个单位得到g(x)的图象，g(x)不是奇函数，故只有③④正确．答案：③④三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知tanα＋π4＝－3，α∈0，π2.(1)求tanα的值；(2)求sin2α－π3的值．解析：(1)由tanα＋π4＝－3可得tanα＋11－tanα＝－3.解得tanα＝2.(2)由tanα＝2，α∈0，π2，可得sinα＝255，cosα＝55.因此sin2α＝2sinαcosα＝45，cos2α＝1－2sin2α＝－35，sin2α－π3＝sin2αcosπ3－cos2αsinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.18．(本小题满分12分)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.(1)求tan2α的值；(2)求β.解析：(1)由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－8347.(2)由0βαπ2，得0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.所以β＝π3.19．(本小题满分12分)已知函数f(t)＝1－t1＋t，g(x)＝cosx·f(sinx)＋sinx·f(cosx)，x∈π，17π