2012年高考真题数学理(北京卷)word版含答案

第1页共9页2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页.150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.已知集合A={x∈R｜3x+20﹜·B={x∈R｜(x+1)(x-3)0﹜则A∩B=()A．（﹣∞，﹣1）B.｛﹣1，-⅔｝C.﹙﹣⅔，3﹚D.（3，＋∝）2.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A.B.C.D.3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.4C.8D.165.如图.∠ACB=90º。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则()A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD²D.CE·EB=CD²6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.67.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A.28+6第2页共9页B.30+6C.56+12D.60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（）A.5B.7C.9D.11第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.9.直线(t为参数)与曲线(“为多α数)的交点个数为10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则=11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b=12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为13.己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则.的值为14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=-2，若同时满足条件：①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0②x∈(﹣∝,﹣4),f(x)g(x)＜0则m的取值范围是三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）已知函数。求f（x）的定义域及最小正周期；求f（x）的单调递增区间。16.（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥第3页共9页BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.求证：A1C⊥平面BCDE；若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由17．（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；试估计厨余垃圾投放正确的概率；试估计生活垃圾投放错误的概率；假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值。（求：，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）18．（本小题共13分）已知函数f（x）=ax2+1（a0）,g(x)=x3+bx若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值，19．（本小题共14分）已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。20．（本小题共13分）第4页共9页设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。对如下数表A，求K（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（2）设数表A∈S（2,3）形如11cab-1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。答案一、选择题题号12345678答案DDBCABBC二、填空题题号91011121314答案21；24nn431；142，三、解答题15．解：(sincos)sin2(sincos)2sincos()2(sincos)cossinsinxxxxxxxfxxxxxxπsin21cos22sin21|π4xxxxxkkZ，，（1）原函数的定义域为|πxxkkZ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8kk，kZ，3πππ8kk，kZ16．第5页共9页解：（1）CDDE，1AEDEDE平面1ACD，又1AC平面1ACD，1ACDE又1ACCD，1AC平面BCDEzyxA1(0,0,23)D(-2,0,0)E(-2,2,0)B(0,3,0)C(0,0,0)M（2）如图建系Cxyz，则200D，，，0023A，，，030B，，，220E，，∴10323AB，，,1210AE，，设平面1ABE法向量为nxyz，，则1100ABnAEn∴323020yzxy∴322zyyx∴123n，，又∵103M，，∴103CM，，∴1342cos2||||14313222CMnCMn∴CM与平面1ABE所成角的大小45（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为00a，，，则03a，则1023APa，，，20DPa，，第6页共9页设平面1ADP法向量为1111nxyz，，则111123020ayzxay∴11113612zayxay∴1363naa，，假设平面1ADP与平面1ABE垂直则10nn，∴31230aa，612a，2a∵03a∴不存在线段BC上存在点P，使平面1ADP与平面1ABE垂直17．（）由题意可知：4002=6003（）由题意可知：200+60+403=100010（）由题意可知：22221(120000)3sabc，因此有当600a，0b，0c时，有280000s．18．解：（）由1c，为公共切点可得：2()1(0)fxaxa，则()2fxax，12ka，3()gxxbx，则2()=3fxxb，23kb，23ab又(1)1fa，(1)1gb，11ab，即ab，代入①式可得：33ab．（2）24ab，设3221()()()14hxfxgxxaxax则221()324hxxaxa，令()0hx，解得：12ax，26ax；0a，26aa，第7页共9页原函数在2a，单调递增，在26aa，单调递减，在6a，上单调递增①若12a≤，即2a≤时，最大值为2(1)4aha；②若126aa，即26a时，最大值为12ah③若16a≥时，即6a≥时，最大值为12ah．综上所述：当02a，时，最大值为2(1)4aha；当2,a时，最大值为12ah．19．（1）原曲线方程可化简得：2218852xymm由题意可得：8852805802mmmm，解得：752m（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240kxkx，2=32(23)k，解得：232k由韦达定理得：21621MNkxxk①，22421MNxxk，②设(,4)NNNxkx，(,4)MMMxkx，(1)GGx，MB方程为：62MMkxyxx，则316MMxGkx，，316MMxAGxk，，2NNANxxk，，欲证AGN，，三点共线，只需证AG，AN共线即3(2)6MNNMxxkxxk成立，化简得：(3)6()MNMNkkxxxx将①②代入易知等式成立，则AGN，，三点共线得证。第8页共9页20．解：（1）由题意可知11.2rA，21.2rA，11.1cA，20.7cA，31.8cA∴0.7kA（2）先用反证法证明1kA≤：若1kA则1|||1|11cAaa，∴0a同理可知0b，∴0ab由题目所有数和为0即1abc∴11cab与题目条件矛盾∴1kA≤．易知当0ab时，1kA存在∴kA的最大值为1（3）kA的最大值为212tt.首先构造满足21()2tkAt的,{}(1,2,1,2,...,21)ijAaijt：1,11,21,1,11,21,211...1,...2tttttaaaaaat，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)ttttttaaaaaatt.经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2trArAt，2121121|()||()|...|()|11(2)22tttttcAcAcAtttt，1221121|()||()|...|()|122tttttcAcAcAtt.下面证明212tt是最大值.若不然，则存在一个数表(2,21)ASt，使得21()2tkAxt.由()kA的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1第9页共9页的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x中.由于1x，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x.设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设gh，则,1gtht.另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于1t个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x（即每个负数均不超过1x）.因此11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)rArAttxttxxttxx，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾.因此kA的