2012年高考试题分类考点34空间点直线平面之间的位置关系

-1-考点34空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.（2012·安徽高考理科·Ｔ6）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的（）()A充分不必要条件()B必要不充分条件()C充分必要条件()D既不充分也不必要条件【解题指南】根据面面垂直的性质定理，由“”可以得到“ab”；可以通过举反例的方法判断反之不成立.【解析】选A.①根据面面垂直的性质定理，,bmbba，m,b,bmbba，又a,bmbba；②若//am，则无法判断是否成立.2.（2012·浙江高考理科·Ｔ10）已知矩形ABCD，AB=1，BC=2。将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）(A)存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直(B)存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直(C)存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直(D)对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解题指南】可取一长方形动手按照其要求进行翻折，观察其翻折过程．【解析】选B.分别取AD,AC,BC的中点E、F、G，则EF∥CD,FG∥AB,且12EFFG，未翻折之前1EG，翻折过程中应有22EG的时候，也即存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直．二、填空题3.（2012·安徽高考文科·Ｔ15）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，-2-ACBD，ADBC，则________(写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。而小于180。④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【解题指南】作出立体图，根据点线面的位置关系判断.【解析】可将四面体ABCD放回长方体内，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为,,xyz，则①需要满足xyz，才能成立；②因为各个面都是全等的三角形（由对棱相等易证）；正四面体的同一顶点处三个角之和为180，事实上各个面都是全等的三角形，对应三个角之和一定恒等于180，③显然不成立；④由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立.【答案】②④⑤三、解答题4.（2012·新课标全国高考理科·T19）如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC1.（1）证明：BCDC1；（2）求二面角11CBDA的大小.-3-【解题指南】（1）1DC与BC是异面直线，证两异面直线垂直，可转化为证一条直线垂直于另一条直线所在的平面，可证1DC垂直于平面BCD；(2)结合图形找出（或作出）二面角11CBDA的平面角，利用解三角形的知识求得二面角的大小.【解析】（1）在RtDAC中，ADAC得：45ADC，同理：1114590ADCCDC得：111,DCDCDCBDDC又∵111,DCDCDCBDDC平面1BCDDCBC.（2）11,DCBCCCBCBC平面11ACCABCAC取11AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,COCH，1111111ACBCCOAB，C1O⊥A1D1CO面1ABD1OHBDCHBD得：点H与点D重合即1CDO是二面角11CBDA的平面角设ACa，则122aCO，1112230CDaCOCDO即二面角11CBDA的大小为30.5.（2012·湖南高考理科·Ｔ18）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱-4-锥P-ABCD的体积.【解析】方法1（Ⅰ），如图（1）连接AC，由AB=4，3BC，905.ABCAC,得5,AD又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CDAE,,PAABCDCDABCD平面平面所以.PACD而,PAAE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.（Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BGCDAEADFGPF分别与相交于连接由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF为直线ＰＢ与平面PAE所成的角，且BGAE.由PAABCD平面知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.由题意，知,PBABPF因为sin,sin,PABFPBABPFPBPB所以.PABF由90//,//,DABABCADBCBGCD知，又所以四边形BCDG是平行四边形，故3.GDBC于是2.AG在RtΔBAG中，4,2,,ABAGBGAF所以222168525,.525ABBGABAGBFBG于是85.5PABF-5-又梯形ABCD的面积为1(53)416,2S所以四棱锥PABCD的体积为1185128516.33515VSPA方法2：如图（2），以A为坐标原点，,,ABADAP所在直线分别为xyz轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PAh则相关的各点坐标为：（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CDAEAPh因为8800,0,CDAECDAP所以,.CDAECDAP而,APAE是平面PAE内的两条相交直线，所以.CDPAE平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是PAE平面，ABCD平面的法向量，而PB与PAE平面所成的角和PB与ABCD平面所成的角相等，所以cos,cos,.CDPBPAPBCDPBPAPBCDPBPAPB,即由（Ⅰ）知，又(4,0,),PBh故解得855h.-6-又梯形ABCD的面积为1(53)4162S，所以四棱锥PABCD的体积为118512851633515VSPA.6.（2012·湖南高考文科·Ｔ19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】（Ⅰ）因为,,.PAABCDBDABCDPABD平面平面所以又,,ACBDPAAC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD平面PAC，而PC平面PAC，所以BDPC.（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC，知BDPO.在RtPOD中，由DPO30，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以,AODBOC均为等腰直角三角形，-7-从而梯形ABCD的高为111(42)3,222ADBC于是梯形ABCD面积1(42)39.2S在等腰直角三角形ＡＯＤ中，所以22242,4.PDODPAPDAD故四棱锥PABCD的体积为11941233VSPA.