2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习315空间向量运算的坐标表示]

第三章3.1第5课时一、选择题1．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC→＝23AB→，则C的坐标是()A．(2，－143，103)B．(－2，143，－103)C．(2，－143，－103)D．(－2，－143，103)[答案]B[解析]∵AB→＝(－3,7，－5)，∴OC→＝23(－3,7，－5)＝－2，143，－103．故选B．2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]C[解析]AB→＝(3,4，－8)，AC→＝(5,1，－7)，BC→＝(2，－3,1)，∴|AB→|＝32＋42＋82＝89，|AC→|＝52＋12＋72＝75，|BC→|＝22＋32＋1＝14，∴|AC→|2＋|BC→|2＝75＋14＝89＝|AB→|2．∴△ABC为直角三角形．3．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为()A．4B．1C．10D．11[答案]D[解析]AB→＝(－2,2，－2)，AC→＝(－1,6，－8)，AD→＝(x－4，－2,0)，∵A、B、C、D共面，∴AB→、AC→、AD→共面，∴存在λ、μ，使AD→＝λAB→＋μAC→，即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴x－4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.∴λ＝－4，μ＝1，x＝11.4．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1B．x＝12，y＝－4C．x＝2，y＝－14D．x＝1，y＝－1[答案]B[解析]a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴2x＋1＝λ2－x，4＝3λ，4－y＝－2y－2λ.∴x＝12，y＝－4.5．已知a＋b＝(2，2，23)，a－b＝(0，2，0)，则cos〈a，b〉＝()A．13B．16C．63D．66[答案]C[解析]由已知得a＝(1，2，3)，b＝(1,0，3)，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝1＋0＋36×4＝63．6．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是()A．x－4B．－4x0C．0x4D．x4[答案]A[解析]∵a、b的夹角为钝角，∴a·b0，即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x0．∴x－4．又当夹角为π时，存在λ0，使b＝λa，∴3＝λx，2－x＝2λ，x＝0.此方程组无解，因此选A．二、填空题7．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝__________．[答案]33，33，33或－33，－33，－33[解析]设n＝(x，y，z)，由条件得x－z＝0，x－y＝0，x2＋y2＋z2＝1.∴x＝y＝z＝33或－33．8．(2013·人大附中期中)△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，2)，B(－32，12，2)，C(－1,0，2)，则角A的大小为__________．[答案]30°[解析]AB→＝(－32，12，0)，AC→＝(－1,0,0)．则cosA＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝321×1＝32，故角A的大小为30°．三、解答题9．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使AB→与AB→＋xAC→垂直？[解析]AB→＝(6，－5,5)，AC→＝(1，－3,6)，AB→＋xAC→＝(6＋x，－5－3x,5＋6x)，∵AB→⊥(AB→＋xAC→)∴6(6＋x)－5(－5－3x)＋5(5＋6x)＝0，∴x＝－8651，∴存在实数x＝－8651，使AB→与AB→＋xAC→垂直．10．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．(1)若DB→∥AC→，DC→∥AB→，求点D的坐标；(2)问是否存在实数α，β，使得AC→＝αAB→＋βBC→成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．[解析](1)设D(x，y，z)，则DB→＝(－x,1－y，－z)，AC→＝(－1,0,2)，DC→＝(－x，－y,2－z)，AB→＝(－1,1,0)．因为DB→∥AC→，DC→∥AB→，所以－x，1－y，－z＝m－1，0，2，－x，－y，2－z＝n－1，1，0，解得x＝－1，y＝1，z＝2.即D(－1,1,2)．(2)依题意AB→＝(－1,1,0)，AC→＝(－1,0,2)，BC→＝(0，－1,2)，假设存在实数α，β，使得AC→＝αAB→＋βBC→成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，所以α＝1，α－β＝0，2β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC→＝αAB→＋βBC→成立．一、选择题11．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()A．2B．3C．4D．5[答案]B[解析]设BC边上的中点为D，则AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－1，－2,2)，所以|AD→|＝1＋4＋4＝3．12．下列各组向量中共面的组数为()①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)②a＝(1,2，－1)，b＝(0,2，－4)，c＝(0，－1,2)③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1)④a＝(1,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]①设a＝xb＋yc，则1＝3x＋4y，2＝0·x＋2y，3＝2x＋5y.解得x＝－1，y＝1.故存在实数x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c，∴a，b，c共面．②中b＝－2c，③中c＝a－b．故②③中三个向量共面．13．(2014·郑州一中月考)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]C[解析]a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝12＋22＋32＝14，所以cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝－12，〈a，c〉＝120°．14．(2013·湖北省八校联考)已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当DA→·DB→取最小值时，点D的坐标为()A．(43，43，43)B．(83，43，83)C．(43，43，83)D．(83，83，43)[答案]C[解析]点D在直线OC上运动，因而可设OD→＝(a，a,2a)，DA→＝(1－a,2－a,3－2a)，DB→＝(2－a,1－a,2－2a)，DA→·DB→＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝43时DA→·DB→最小为－23，此进OD→＝(43，43，83)，故选C．[点评]注意函数思想的应用．二、填空题15．已知a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则a·(b－c)＝__________．[答案]5[解析]b－c＝(2,0,1)，a·(b－c)＝(2，－3,1)·(2,0,1)＝4＋0＋1＝5．16．(2013·湖南省长沙一中月考)已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则CNCF＝__________．[答案]116[解析]设CNCF＝m，则CN→＝mCF→＝mAD→，∵M为BC中点，∴MN→＝MC→＋CN→＝12BC→＋mAD→，又AE→＝AB→＋BE→，由条件知，AE→·MN→＝(AB→＋BE→)·(12BC→＋mAD→)＝12AB→·BC→＋12BE→·BC→＋mAB→·AD→＋mBE→·AD→＝－14＋4m＝0，∴m＝116．三、解答题17．已知空间三点A(0,2,3)、B(－2,1,6)、C(1，－1,5)．(1)求以AB→、AC→为邻边的平行四边形面积；(2)若|a|＝3，且a分别与AB→、AC→垂直，求向量a的坐标．[解析](1)由题中条件可知AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝－2＋3＋614×14＝12，∴sin〈AB→，AC→〉＝32，∴以AB→，AC→为邻边的平行四边形面积S＝|AB→|·|AC→|·sin〈AB→，AC→〉＝73．(2)设a＝(x，y，z)，由题意得x2＋y2＋z2＝3，－2x－y＋3z＝0，x－3y＋2z＝0.解得x＝1，y＝1，z＝1，或x＝－1，y＝－1，z＝－1.∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．