2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习131函数的单调性与导数]

选修2-2第一章1.31.3.1一、选择题1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为()A．(－∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)[答案]A[解析]y′＝4x3－4x，令y′0，即4x3－4x0，解得x－1或0x1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a1C．a2D．a≤13[答案]A[解析]f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f′(x)0，g′(x)0，则x0时()A．f′(x)0，g′(x)0B．f′(x)0，g′(x)0C．f′(x)0，g′(x)0D．f′(x)0，g′(x)0[答案]B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x0时，f′(x)0，g′(x)0.4．(2013·武汉市实验中学高二期末)设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m43，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]f′(x)＝3x2＋4x＋m，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0，∴m≥43，故p是q的必要不充分条件．5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()[答案]C[分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝fxex是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)B．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)C．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)D．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)[答案]C[解析]∵函数F(x)＝fxex的导数F′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex0，∴函数F(x)＝fxex是定义在R上的减函数，∴F(2)F(0)，即f2e2f0e0，故有f(2)e2f(0)．同理可得f(2012)e2012f(0)．故选C.二、填空题7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．[答案](－∞，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－10，得x12，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0][解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴a3≤1，f′1＝3×12－2a－3≥0，解得a≤0，故答案为(－∞，0]．9．(2014·郑州网校期中联考)若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是__________________．[答案]b≤－1[解析]f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋bx＋2，∴－x＋bx＋2≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.三、解答题10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)0，可得x－3或x13；令f′(x)0，可得－3x13.∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13)．一、选择题11．(2012·天津理，4)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0x1，∴f′(x)＝2xln2＋3x20在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，f(0)f(1)0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．12．(2014·北京西城区期末)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是()①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋1xA．2B．3C．4D．5[答案]B[解析]①中的函数f(x)＝x2，f′(x)＝2x，要使f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则e－x＝－e－x，由对任意的x，有e－x0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则lnx＝1x，由函数f(x)＝lnx与y＝1x的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则tanx＝1cos2x，即sinxcosx＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则x＋1x＝1－1x2，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋10且g(－1)0，g(0)0，显然函数g(x)在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.13．(2014·天门市调研)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)ex的解集为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，e4)D．(e4，＋∞)[答案]B[解析]令g(x)＝fxex，则g′(x)＝f′x·ex－fx·exex2＝f′x－fxex0，所以g(x)在R上是减函数，又y＝f(x)－1为奇函数，所以f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以原不等式可化为g(x)＝fxex1＝g(0)，所以x0，故选B.14．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案]C[解析]当0x1时xf′(x)0，∴f′(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数．当x1时xf′(x)0，∴f′(x)0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.二、填空题15．(2014·衡阳六校联考)在区间[－a，a](a0)内图象不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)0，又当0xa时，有f′(x)＋f(x)0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．[答案]2[解析]∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝ex·f(x)，∴g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]0，∴g(x)在[0，a]上为单调增函数，又∵g(0)·g(a)0，∴函数g(x)＝ex·f(x)在[0，a]上只有一个零点，又∵ex≠0，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点，∵f(x)是偶函数，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且仅有两个零点．三、解答题16．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)0，解得x－1或x3；又令f′(x)0，解得－1x3.所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．17．(2014·山师附中学分认定考试)已知函数f(x)＝alnx＋2a2x＋x(a0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)f′(x)＝ax－2a2x2＋1，∵f′(1)＝－2，∴2a2－a－3＝0，∵a0，∴a＝32.(2)f′(x)＝32x－92x2＋1＝2x2＋3x－92x2＝2x－3x＋32x2，∵当x∈(0，32)时，f′(x)0；当x∈(32，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)的单调递减区间为(0，32)，单调递增区间为(32，＋∞)．