2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升4-2-1直线与圆的位置关系

一、选择题1．(2012·安徽卷)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[答案]C[解析]圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d则d≤r＝2⇔|a＋1|2≤2⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.2．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10B．10或－68C．5或－34D．－68[答案]B[解析]由题意得圆心C(1，－2)，半径r＝5，圆心C到直线5x－12y＋c＝0的距离d＝|29＋c|13，又r2＝d2＋42，所以25＝29＋c2132＋16，解得c＝10或－68.3．已知直线ax－by＋c＝0(ax≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形()A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．不存在[答案]B[解析]圆心O(0,0)到直线的距离d＝|c|a2＋b2＝1，则a2＋b2＝c2，即该三角形是直角三角形．4．过点P(2,3)引圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的切线，其方程是()A．x＝2B．12x－5y＋9＝0C．5x－12y＋26＝0D．x＝2和12x－5y－9＝0[答案]D[解析]点P在圆外，故过P必有两条切线，∴选D.5．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为()A．9B．8C．5D．2[答案]D[解析]由圆心到直线的距离d＝|15＋12－2|32＋42＝53知直线与圆相离，故最短距离为d－r＝5－3＝2，故选D.6．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是()A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．3x－y－1＝0D．3x＋y－5＝0[答案]A[解析]x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A.7．已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于()A.π2B.2π3C．πD．2π[答案]D[解析]圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，设直线x＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，则圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝|－10|1＋49＝2，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2r2－d2＝22.在△MNO中，|MN|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于360－90×π×2180－90×π×2180＝2π.8．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是()A．3r5B．4r6C．r4D．r5[答案]B[解析]圆心C(3，－5)，半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝|12＋15－2|42＋－32＝5，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1rd＋1，所以4r6.二、填空题9．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________.[答案]8或－18[解析]由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，则|5＋m|52＋122＝1，解得m＝8或－18.10．(2012～2013·北京朝阳一模)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为________．[答案]2[解析]直线方程是y＝3x，即3x－y＝0，圆心C(2,0)，半径r＝2，则圆心到直线3x－y＝0的距离d＝|23－0|32＋12＝3，所以所截得的弦长为2r2－d2＝24－3＝2.11．(2012－2013·江苏南京模拟)设直线l截圆x2＋y2－2y＝0所得弦AB的中点为(－12，32)，则直线l的方程为________；|AB|＝________.[答案]x－y＋2＝02[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＋y21－2y1＝0，x22＋y22－2y2＝0，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)－2(y1－y2)＝0，kAB＝y1－y2x1－x2＝1.故l的方程为y－32＝1·(x＋12)，即x－y＋2＝0.又圆心为(0,1)，半径r＝1，故|AB|＝2.12．(2012·江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．[答案](2，2)[解析]本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，由|PO|＝2，由x2＋y2＝4x＋y＝22可得x＝2y＝2.三、解答题13．已知直线l：y＝2x－2，圆C：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0，请判断直线l与圆C的位置关系，若相交，则求直线l被圆C所截的线段长．[解析]圆心C为(－1，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝2552，所以直线l与圆C相交．设交点为A，B，所以|AB|2＝r2－d2＝455.所以|AB|＝855.所以直线l被圆C所截的线段长为855.14．已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．[解析]设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．∵圆心在直线2x＋y＝0上，∴b＝－2a，即圆心为C(a，－2a)．又∵圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，∴|a＋2a－1|2＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，即(3a－1)2＝2[(2－a)2＋(－1＋2a)2]，解得a＝1或a＝9，∴a＝1，b＝－2，r＝2或a＝9，b＝－18，r＝132.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.15．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．[解析](1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程为x＝－2，此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋(12|MN|)2＝r2.又∵|MN|＝219，r＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.16．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．[解析]设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即y1x1·y2x2＝－1，x1x2＋y1y2＝0.①又(x1，y1)、(x2，y2)是方程组x＋2y－3＝0，x2＋y2＋x－6y＋m＝0的实数解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0②的两个根，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝4m－275.③∵P、Q是在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝12(3－x1)·12(3－x2)＝14[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．将③代入，得y1y2＝m＋125.④将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ0成立，∴m＝3.