2012考研数学强化阶段重要题型攻略线性代数(四)

2012考研数学强化阶段重要题型攻略——线性代数（四）万学海文矩阵是研究线性代数的第二大工具，也是整个线性代数的基础．而涉及到矩阵，必然会涉及矩阵的运算．矩阵的运算可以单独出选择题或填空题，也可以结合后面的知识点出题．矩阵可以数值型的，也可以是抽象型。抽象型矩阵的运算是考试频率最高的，主要是以抽象矩阵的行列式和矩阵方程的题型来考查。抽象矩阵的行列式的计算主要是抽象矩阵的行列式的性质进行计算。对于矩阵方程，利用矩阵的运算先化简然后再计算.含未知伴随矩阵的，利用**nAAAAAE，常在方程两边左乘或右乘矩阵A，消去*A；含有可逆矩阵1A常在方程两边左乘或右乘矩阵A，消去1A；含有转置矩阵的，常利用转置矩阵的性质()TTAA，()TTTABBA化简.基本每年都考，2000，2001，2002年都是以解答题的形式考查，近几年2006，2008，2010年都是客观题的形式考查。矩阵的运算性质是比较多的，而且零碎。为了便于记忆，在这里，万学海文数学考研辅导专家们给出它们的对比表，便于2012年考研的考生记忆。方阵的运算性质对比表：行列式转置伴随矩阵可逆矩阵nkAkA()TTkAkA*1*0nkAkAk111()kAAk（0k）ABAB()TTTABAB***ABAB111()ABABABAB().TTTABBA***ABBA111()ABBATAA()TTAA**TTAA11()()TTAA1*nAA**TTAA*2*nAAA*11*()()AAAA11AA11()()TTAA1**1()()AAAA11()AA下面通过具体的题目来运用上述知识点【例1】设A是三阶方阵，*A是A的伴随矩阵，12A，则1*(3)2AA=.【解析】1*111111(3)2233AAAAAAA311122816332727AAA【例2】设矩阵101101202A，矩阵X满足20112AXEAX，其中E为3阶单位矩阵，试求矩阵X．【解析】对20112AXEAX整理，得20112AXXAE，即2011(2)AEXAE．而3012121200AE，301212140200AE，所以2AE可逆，故12011(2)()XAEAE．根据初等行变换，得10011(2)1112203AE．由于()1rA，所以20112010(102)AAA，2011201111201AEAE．因此，1201100120120111(2)()11111111122203201201XAEAE