2012考研数学易混淆概念分析之高等数学(九)

2012考研数学易混淆概念分析之高等数学（九）万学海文随着复习的展开，同学们遇到的问题也随之增多，如果不能及时将这些问题解决，势必会影响我们整个复习的进度，阻碍我们复习的进行。所以当我们遇到问题时一定要在第一时间内将其解决掉。万学海文的数学考研辅导专家们下面主要为2012年的考生们讲解一下高等数学中多元函数几种积分的常见易混淆知识点。多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分：01()lim()niiiGfPdPfPP，其中iP是将积分区域G任意分割为n块后的任一块(1,2,)in，iP为iP内的任一点，maxiiP的度量，它是定积分的推广。(1)若积分区域G为平面域D，则是二重积分(,)Dfxyd.其中，d叫做面积元素，在直角坐标系中ddxdy，在极坐标系中drddr.(2)若积分区域G为空间区域，则是三重积分(,,)fxyzdv.其中dv称为体积元素，在直角坐标系中体积元素为诶dvdxdydz，在柱面坐标系中的体积元素为dvdddz，在球面坐标系中的体积元素为2sindvrdrdd.(3)若积分区域G为曲线弧L，则是对弧长的曲线积分(,)Lfxyds.其中ds称为弧微元，如果曲线弧L的方程为参数方程：,xxttyyt，则22dsxtytdt.从而转化为定积分来求解.(4)若积分区域G为曲面，则是对面积的曲面积分(,,)fxyzdS；其中dS称为面积微元，如果曲面的方程为,zzxy，则对面积的曲面积分可以转为为二重积分来计算，其中dS转化为221,,xyzxyzxydxdy.以上几类积分在计算时，积分下限一定小于积分上限.(5)另外还有，对坐标的曲线积分(coscos)LLPdxQdyPQds，其中,为有向曲线弧L的切向量的方向角.上式是把对坐标的曲线积分转为对面积的曲线积分来求，一般情况下，可以用参数法直接求解对坐标的曲线积分，此时需要注意的是，积分下限一定是对应起点的坐标，而积分上限一定是对应终点的坐标，下限不一定小于上限.(6)对坐标的曲面积分(coscoscos)PdydzQdzdxRdxdyPQRdS，其中,,为有向曲面的法向量的方向角。上述仍然是把对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分.由于对坐标的曲面积分中曲面是有侧的，因此在转化时一定要注意对面积的曲面积分的正负的选取.例：计算Lxydx，其中L为抛物线2yx上从点(1,1)A到点(1,1)B的一段弧．解析：方法1：将所给积分化为对x的定积分来计算，由于yx不是单值函数，所以要把L分为AO和OB两部分，在AO上，yx，x从1变到0；在OB上，yx，x从0变到1，因此301121004()2.5LAOOBxydxxydxxydxxxdxxxdxxdx方法2：将所给积分化为对y的定积分来计算，则11224114()25Lxydxyyydyydy.此题是典型的对坐标的曲线积分，采用的方法使参数法直接求解.万学海文提醒2012年的考生们在以后遇到多元函数积分学的计算题时，首先应该分清楚该积分是属于哪一类积分，再根据相应积分的计算方法计算积分。.................................