2012解三角形复习课

听课随笔第9课时解三角形复习课(1)、(2)学习要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；2．能利用计算器解决三角形的计算问题。【课堂互动】自学评价1．正弦定理：txjy(1)形式一：CcBbAasinsinsin=2R；形式二：R2aAsin＝；R2bBsin＝；R2cCsin＝；（角到边的转换）形式三：AsinR2a，BsinR2b，CsinR2c；（边到角的转换）形式四：Bsinac21Asinbc21Csinab21S；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出A,ba，那么解的个数为：若Asinba，则无解；若AsinbaAsinba或者，则一解；若baAsinb，则两解；2．余弦定理：txjy(1)形式一：Acosbc2cba222，Bcosac2cab222，Ccosab2bac222形式二：bc2acbAcos222，ac2bcaBcos222，ab2cbaCcos222，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;(3)(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2BcosBsin=(2RsinB)2AcosAsin2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1[2sin2BAcos2BA+sin(A+B)]–[2cos2BAcos2BA+听课随笔2cos22C-1]=0[2sin2BAcos2BA+sin(A+B)]–2cos2BAcos2BA-2sin22BA=0(sin2BA-cos2BA)(cos2BA-sin2BA)=0sin(2BA-4)sin4BCAsin4CBA=0△ABC是Rt△.二、三角形中的求角或求边长问题【例2】△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。【例3】在△ABC中，已知sinB=53,cosA=135,试求cosC的值。【解】由cosA=135，得sinA=1312,∵sinBsinA,∴B中能是锐角∴cosB=54,又cosC=-cos(A+B)=sinAsinB–cosAcosB=6516.【例4】在△ABC中，已知ACBAB,66cos,364边上的中线BD=5，求sinA的值.听课随笔分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.【解】设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=,,36221xBEAB设在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，,6636223852xx,,2),(37,1BCxx故舍去解得328cos2222BBCABBCABAC从而.1470sin,6303212sin2,630sin,3212AABAC故又即【例5】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA.（Ⅰ）求ACB2cos2sin2的值；（Ⅱ）若3a，求bc的最大值.【解】(Ⅰ)ACB2cos2sin2=)1cos2()]cos(1[212ACB=)1cos2()cos1(212AA=)192()311(21=91(Ⅱ)∵31cos2222Abcacb∴2222232abcacbbc,又∵3a∴.49bc当且仅当b=c=23时,bc=49,故bc的最大值是49.三、解平面几何问题【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。分析：连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。【解】四边形ABCD的面积S=38.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运追踪训练一1.△ABC中a=6,b=63A=30°则边C=（C）A、6B、、12C、6或12D、632.△ABC中若听课随笔sin(A+B)CBA2sin)sin(，则△ABC是（B）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形3.△ABC中若面积S=)(41222cba则C=（C）A2B3C4D64.△ABC中已知∠A=60°，AB=AC=8：5，面积为103，则其周长为20;5.△ABC中A：B：C=1：2：3则a：b：c=1:3:2.【选修延伸】四、解实际应用问题【例7】某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。【解】由已知得CD=21，BD=20，CB=31，∠CAD=60°。设AD=x，AC=y。在△ACB和△ACD中，分别由余弦定理得，人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。五、证明三角恒等式【例8】在△ABC中，求证：BcosAcosba22+CcosBcoscb22+AcosCcosac22=0.【证明】因为BcosAcosba22=BcosAcos)BsinR2()AsinR2(22=BcosAcos)]Bcos1()Acos1[(R4222=BcosAcos)AcosB(cosR4222=4R2(cosB–cosA),同理CcosBcoscb22=4R2(cosC–cosB)AcosCcosac22=4R2(cosA–cosC).所以左边=4R2(cosB–cosA)+4R2(cosC–cosB)+4R2(cosA–cosC)=0得证.听课随笔【例9】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,证明：CBAcbasin)sin(222。【证明】由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，，所以=。故等式成立。追踪训练二1．△ABC中若面积sinA·cosB－sinB=sinC－sinA·cosC且周长为12，则其面积最大值为36(3－2);2．△ABC中已知sin(A+B)+sin(A+B)=22,cos(A+B)+cos(A+B)=22求角A和B【解】26)sin()sin(22)cos()cos(BABABABA46cossin42coscosBABA3tgAA03cosA23cosB4B3．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－Csin3①求证：△ABC是等腰三角形②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2求：CDAB的值【解】①150CB°)150sin(3sin2sin3sin2cosBBCBB)sin23cos21(3sin2BBB32tgB75B从而75C△ABC是顶角为A的等腰三角形。②在△ABC中由正弦定理75sin236sinBC26BC在△BCD中由正弦定理45sin2660sinCD33CD132CDAD333313DCAD听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑